Geradengleichung und Ebenengleichung bestimmen + wo durchstößt Gerade die Ebene?

Question

Eine Gerade durch die Punkte A (1 1 1) und B (5 4 -3) verläuft senkrecht zu einer Ebene, auf der der Punkt P (2 1 5) liegt. Wie lautet die Ebenengleichung und wo durchstößt sie die Gerade die Ebene?

Wir hatten so eine Aufgabe bereits schon mal, nur waren beide Gleichungen gegeben... haben dann einfach beide Gleichungen in ein GLS geschrieben und aufgelöst, welches den Durchstoßpunkt ergab.
Wie komme ich aus oben gegebenen Informationen auf die Geradengleichung und die Ebenengleichung?

Answer 1

A = [1, 1, 1]
B = [5, 4, -3]

AB = B - A = [4, 3, -4]

E: X·[4, 3, -4] = [2, 1, 5]·[4, 3, -4]
E: 4·x + 3·y - 4·z = -9

Nun die Gerade aufstellen

g: X = [1, 1, 1] + r·[4, 3, -4] = [4·r + 1, 3·r + 1, 1 - 4·r]

Und diese in die Ebene einsetzen

4·(4·r + 1) + 3·(3·r + 1) - 4·(1 - 4·r) = -9 --> r = - 12/41

Das kann nun in g eingesetzt werden um den Schnittpunkt zu erhalten

S = [1, 1, 1] - 12/41·[4, 3, -4] = [- 7/41, 5/41, 89/41]

Comments

warum benutzt du gerade diese Punkte um auf -9 der Ebenengleichung zu kommen?

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Ich benutze nur einen Punkt. Das ist der eine Punkt der Ebene. Ansonsten benutze ich nur den Normalenvektor. Das ist der Vektor der senkrecht zur Ebene ist.

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vielleicht eine dumme frage aber warum ergibt sich die Ebenengleichung und die Geradengleichung gerade so? Ich kann so wie du das aufgeschrieben hast alles nachvollziehen, aber sollte die Aufgabe anders gestellt sein glaube ich könnte ich sie nicht mehr lösen

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Eine Gerade die durch dei Punkte A und B geht kann man immer Aufstellen als

g: X = A + r * AB = A + r * (B - A)

Eine Ebene die senkrecht zum Vektor N verläuft und durch den Punkt P geht kann man immer aufstellen als

E: (X - P) * N = 0

oder besser

E: X * N = P * N

Beides ist keine Hexerei und sollte eigentlich zum Grundhandwerkszeug gehören.

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danke sehr

ja wir hatten diese thema früher in der schule, jetzt in der uni wird das alles aber nur sehr grob und oberflächlich behandelt und gleich weiter zum nächsten thema... da kann das schon mal untergehen

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Daran müssen sich Studenten erst gewöhnen das zu jeder Stunde Vorlesung eine Stunde vor und eine Stunde Nachbereitung Pflicht ist und das die empfohlenen Bücher und Skripte auch mal anzuschauen sind :)

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Hier noch eine interaktive Grafik via Geoknecht nachgereicht:

Hinweis: Ebenengleichung in Parameterform lautet:

(x|y|z) = (0|0|2,25) + s·(1|0|1) + t·(0|1|0,75)

@Mathecoach: Statt deiner Koordinatenform von "E: 4·x + 3·y - 4·z = -9" zeigt Geoknecht jedoch an: " -1·x + -0,75·y + 1·z = 2,25" - ah, hier wurde die Gleichung auf beiden Seiten offensichtlich :4 geteilt :)

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Ein Programm ist halt immer nur so intelligent wie der Programmierer ;)

Nein Scherz. Geoknecht hat natürlich recht mit der Gleichung. Wenn es sich machen lässt multipliziere ich die Gleichung natürlich so, dass keine Kommazahlen mehr in der Gleichung stehen. Bzw. Das der Normalenvektor möglichst klein und ganzzahlig ist.