Berechne P, Q dass Strecke PQ gleich 3 ist.

Question

f(x)=x^2*e^{-x}

Aufgabenstellung: Eine Parallele zur x-Achse schneidet die Kurve in P und Q so dass PQ=3.

Zur Lösung steht mir ein TI voyage200 zur Verfügung.

Mein Lösungsansatz ist: 

pq(u,t)=√((u-t)²+(f(u)-f(t)²)

solve(pq(u,t)=3 and u=t, {u,t})

u und t sind Werte für X.

Ist mein Lösungsansatz falsch, oder habe ich einen Fehler im Syntax?

Ps: Konnte das Bild leider nicht drehen.

Answer 1

y = a^2·EXP(-a)
y = (a + 3)^2·EXP(-a - 3)

bzw.

a^2·EXP(-a) = (a + 3)^2·EXP(-a - 3)

Löse das nach a auf und erhalte: 

a = 3/(e^{3/2} - 1) ∨ a = - 3/(e^{3/2} + 1)

a = -0.5472765714 ∨ a = 0.8616507503

Comments

Leider komme ich mit deiner Lösung nicht ganz zurecht. Wie sieht y aus? Wie muss ich mir EXP(-a) vorstellen.

Und was ist a für ein Ergebnis? Die Funktion liegt ja nie unter der x-Achse weshalb ich das negative a nicht nachvolziehen kann. Und für f(x)=0.86165... bekomme ich die x-Werte x=-.928251... und x=.928251... . Eigentlich sollten beide x-Werte positiv sein und die Differenz sollte 3 sein.

MfG

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EXP(x) = e^x und somit die Normale Exponentialfunktion.

y sei hier der Funktionswert der identisch sein soll, deren Wert wir aber nicht kennen. Du hättest dann eine parallele zur x-Achse im Abstand y.

Hier eine Skizze, damit du es dir vorstellen kannst

~plot~ exp(-x)*x^{2};0,518;0,314;{-0,547|0,518};{2,453|0,518};{0,8617|0,314};{3,8617|0,314};[[-1|4|-0.5|3]] ~plot~

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Danke. Jetzt habe ich es kapiert. 

Letzte Frage. Wie genau kommt man auf y=(a+3)²·EXP(-a-3) ? Wie sieht der Lösungsansatz allgemein aus? Ich kann mir das gerade selber nicht herleiten.

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an der Stelle a und an der Stelle a + 3 soll der gleiche Funktionswert y angenommen werden. D.h. man setzt einmal a und einmal a + 3 für x ein.