Vektorraum bestimmen

Question

ich bräuchte mal Hilfe bei folgendem Beispiel. Ich hab beim Studium gerade das erste Mal was von Vektorräumen gehört und bin gerade mit der Aufgabe überfordert.

Das Beispiel geht so:

Ist die folgende Menge ein Vektorraum (mit den üblichen Operationen auf ℝ² bzw. ℝ³)? Falls kein Vektorraum vorliegt, geben Sie an, welche Eigenschaft verletzt ist!

{(x₁,x₂)∈ℝ²: x₁*x₂=0}

Wär super wenn mir da jemand helfen könnte.

Comments

Tipp: Betrachte \(\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix},\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}\in\mathbb R^2\), sowie deren Summe.

Answer 1

Verletzt ist z.B. die Eigenschaft: "Abgeschlossenheit gegenüber +" ; denn

es sind (1;0)  und ( 0;1) aus der gegebenen Menge, aber die Summe ( 1;1) nicht,

weil 1*1=0 nicht gilt.

Comments

Das macht Sinn. Danke.

Und kann das sein, dass es sich bei diesem Beispiel um einen Vektorraum handelt?

{(x₁,x₂,x₃₎∈ℝ³ :3*x₁ = 2*x₂ =x₃}

Hier sind doch alle Grundeigenschaften erfüllt.

---

Ja, das sind ja alle vom Typ

( t/3;  t/2  ;  t ) also alle Vielfachen von 

(1/3 ; 1/2 ; 1 ) und das ist ein Vektorraum.

Answer 2

  Selbst eine alte Kuh / Lernt doch immer noch dazu. Hier im Internet wurde mal eine Übungsaufgabe gepostet, von der ich im Studium noch nie was gehört hatte.

    Dass die Schnittmenge aus beliebig vielen ( über-über-ü+ber ... überabzählbaren ) Vektorräumen selbst wieder  ein Vektorrau ist, hatte man uns gesagt. Eben Falls, dass man mit der Vereinigungsmenge vorsichtig sein muss; V1  v  V2  ist i.A. nicht wieder ein Vektorraum.  So steht das erst mal in allen Büchern.

    Und jetzt die Verschärfung  (  und Veranschaulichung ! ) aus dem Internet

    " Macht Internet dumm? "

      V  :=  V1  v  V2      (  1  )

   ist Vektorraum genau dann, wenn V1 schon Unterraum von V2  oder V2 Unterraum von V1 .

     "  Unterraum  " kann auch  Gleichheit V1 = V2 bedeuten, also unechten Unterraum.  Und "  oder " ist das einschließende matematische Oder.

   Ich hab mir mal einen ganz pfiffigen Beweis überlegt - geht in einer Zeile.

         Es ist oft gut, solche Kriterien zur Hand zu haben; deine " x1 * x2 "  -Formel entspricht ja gerade dieser Oderbedingung. Was du kriegst, ist die Vereinigung aus V1  =  Aszisse mit V2  =  Ordinate;  aber weder ist  die Abszisse  Unterraum der Ordinate noch umgekehrt.