Wir haben die lineare inhomogene Differentialgleichung: $$y'(x)+6y(x)=7e^{-6x}$$
Wir berechnen erstmal die allgemeine Lösung der homogenen DG $$y'(x)+6y(x)=0$$ mit Trennung der Variablen:
$$\frac{dy}{dx}+6y=0 \Rightarrow \frac{dy}{dx}=-6y\Rightarrow \frac{dy}{y}=-6dx \\ \Rightarrow \int \frac{dy}{y}=-6dx \int \Rightarrow \ln |y|=-6x+c \\ \Rightarrow e^{\ln |y|}=e^{-6x+c} \Rightarrow |y|=e^{-6x}\cdot e^c \\ \Rightarrow y=\pm e^c\cdot e^{-6x}\Rightarrow y=C\cdot e^{-6x} \ \text{ wobei } C:=\pm e^c$$
Somit lautet die allgemeine Lösung der homogenen DG $$y_h(x)=C\cdot e^{-6x}$$
Nun wollen wir eine partikuläre Lösung der inhomogenen DG berechnen mit Variation der Konstante. Dazu ersetzen wir in der allgemeinen Lösung der homogenen DG die Konstante C durch eine Funktion C(x): $$y_p(x)=C(x)\cdot e^{-6x}$$
C(x) kann nun so gewählt werden, dass y_p eine spezielle Lösung der inhomogenen DG wird. Wir differenzieren die Funktion und bekommen: $$y_p'(x)=C'(x)\cdot e^{-6x}-6\cdot C(x)\cdot e^{-6x}=\left(C'(x)-6\cdot C(x)\right)\cdot e^{-6x}$$ Wir setzen dies in der DG ein und bekommen: $$y'_p(x)+6y_p(x)=7e^{-6x}\Rightarrow \left(C'(x)-6\cdot C(x)\right)\cdot e^{-6x}+6\cdot C(x)\cdot e^{-6x}=7e^{-6x}\Rightarrow C'(x)-6\cdot C(x)+6\cdot C(x)=7 \Rightarrow C'(x)=7 \Rightarrow C(x)=7x$$ Somit erhalten wir $$y_p(x)=7x\cdot e^{-6x}$$
Die Allgemeine Lösung der inhomogenen DG lautet also $$y(x)=y_h(x)+y_p(x)=C\cdot e^{-6x}+7x\cdot e^{-6x}$$
