Untervektorraum U := { (a, b) ∈ R² | a² + b^4 = 0}, Beweis beenden

Question

Aufgabe:

R = reelle Zahlen

Gegegen seien:
V := R² und U := { (a, b) ∈ R²  | a² + b^4 = 0 }

Belegen oder widerlegen Sie, dass U ein Untervektorraum von V ist.

Problem/Ansatz:

ich sitze gerade an dieser Aufgabe.

Ich will beweisen, dass U ein Untervektorraum von V ist. Bereits gezeigt habe ich, dass U nicht leer sein kann.

Als nächstes muss ich ja die Abgeschlossenheit der Additon und Skalar-Multiplikation zeigen.

Seien v,w ∈ U und α ∈ R. Setze u:= v+w. Zu zeigen ist: u₁² + u₂⁴ = 0.

Wegen v,w ∈ U gilt v₁² + v₂⁴ = 0 und w₁² + w₂⁴ = 0.

Weiter gilt:

u₁² + u₂⁴ = (v₁ + w₁)² + (w₂ + w₂)⁴ = v² + 2v₁w₁ + w₁² + (v₂ + w₂)⁴

= v₁² + 2v₁w₁ + w₁² + v₂⁴ + 4v₂³w₂ + 6v₂²w₂² + 4v₂w₂³ + w₂⁴

Egal, wie ich weiterrechne, ich komme nicht weiter. Kann mir da bitte jemand weiterhelfen?

Comments

Vom Duplikat:

Titel: unterräumevektor/ Vektorrämue

Stichworte: untervektorraum,beweis

V := R²      und U := { (a, b) ∈ R²  | a² + b^4 = 0 } seien

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Beachte die Fachbegriffe. Auch hier https://www.mathelounge.de/627950/unterraumevektor-beweisen hast du von "unterräumevektor" gesprochen und nicht gesagt, was du eigentlich tun musst.

Hast du die Antwort dort überhaupt zur Kenntnis genommen?

Wenn ja: Was ist denn nun dein Ansatz bei dieser neuen Frage?

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Mit der nachgereichten Null bleibt ja nur (0|0) , weil a und b reelle Zahlen sind.

V := R²

Answer 1

In der Def. von U heißt es ja wohl   a² + b^4 = 0.

Das gilt in R^2 nur für das Paar (0,0). Und das allein

bildet in der Tat einen Untervektorraum von R^2,

den Nullraum.

Comments

Aber die Abgeschlossenheit muss ich doch trotzdem zeigen?

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Dass U nicht leer ist, habe ich bereits.

Trotzdem muss ich ja noch die Abgeschlossenheit der Addition und Skalar-Multiplikation zeigen, wenn ich beweisen möchte, dass U ein Untervektorraum von R^2 ist.

Oder etwa nicht?

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(0|0) + (0|0) = (0|0)

a(0|0) = (0|0)

Viel mehr gibt dein UVR nicht her.

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D.h. ich hätte mir die Rechnerei sparen können? Oder muss ich noch beweisen, dass (0, 0) das einzige Element in U ist?

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Irgendetwas über reelle Zahlen darfst du hoffentlich voraussetzen (?)

Bsp. a^2 ≥ 0, b^4 ≥ 0.

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Hm, bin mir da ehrlich gesagt nicht sicher. Auf jeden Fall vielen Dank für den Tipp, dann muss ich mir das wohl gar nicht so schwer machen.

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Schreibe daneben einfach mal "wie aus den Rechenregeln für reelle Zahlen bekannt".

Answer 2

U ist ein Untervektorraum von R^2 , denn das einzige Element von U ist (0,0).