Konvergenzradius einer komplexen Potenzreihe

Question

Hi, ich hab leider echt Probleme bei komplexen Potenzreihen, die Aufgabe sieht wie folgt aus:

∑(z-i-1)^k/k²

Summe von k=1 bis ∞. Nun sollen wir den Konvergenzradius bestimmen, leider versteh ich den Ansatz dafür nicht, der in der Lösung für die Aufgabe steht:

q_k = (k+1)²/k²

Okay während ich das schreibe fällt mir auf, dass hier schon das quotientenkriterium angewendet wurde und scheinbar (z-i-1)^k durch 1 substituiert wurde. Jedoch noch 2 Fragen dazu:

1. Macht man das im generellen so, dass der Entwicklungspunkt und z substituiert werden?

2. Warum ist es qk = (k+1)²/k² Und nicht qk = k²/(k+1)² ? Das würde ich herausbekommen falls ich das Quotientenkriterium mit a_n+1 / a_n rechne.

Comments

Du musst Dir schon vorher die Theorie zum Thema anschauen. Dein Versuch, Kochrezepte aus einer Musterloesung zu erraten, ist ziemlich daneben. Zum Basiswissen gehort: Was hat es mit dem Konvergenzradius einer Potzenzreihe auf sich, was ist das? Wie berechnet man ihn? (Dazu gibt es zwei Formeln, von denen eine in der Musterloesung verwendet wird.)

Answer 1

Warum ist es qk = (k+1)2/k2 Und nicht qk = k2/(k+1)2 ? Das würde ich herausbekommen falls ich das Quotientenkriterium mit an+1 / an rechne.
Schau mal dort: https://de.wikipedia.org/wiki/Konvergenzradius#Bestimmung_des_Konvergenzradius

Diese Formel für den Konvergenzradius kannst du aus dem Konvergenzkriterium für Reihen herleiten.

Die wir hier benutzt:

Bei ist ja a_k=1/k^2 , also ist  a_k / a_k+1 =  q_k = (k+1)^2/k^2 Und weil q_k gegen 1 konvergiert, ist der

Radius 1. 

Das (z-i-1)^k ist nicht substituiert worden, sondern ist schlicht für den Konv.radius irrelevant.

Bei einer Potenzreihe, bei der hinter dem a_k sowas wie ( z - zo)^k  steht, ist zo schlicht der

Mittelpunkt des Konvergenzbereiches. Bei dir konvergiert die Reihe also sicher im

offenen Kreis um i+1 mit Radius 1.  Den Rand muss man extra untersuchen.

Comments

Danke dir, die Formel von Cauchy Hardmann bzw. in diesem Fall die andere Formel hatten mir gefehlt. Und ja das mit (z-z0)^k hab ich mir nochmal angeschaut, ist mir jetzt auch klar!