Änderungsraten. Die h-Methode - Wie funktioniert sie?

Question

Hallo ihr Mathegenies (:

Als Oberthema in Mathe haben wir gerade Änderungsraten und hierbei wurde uns heute die H-Methode vorgestellt, um die Momentane Änderungsrate so genau wie möglich zu bestimmen. - Wir müssen nur in der Lage sein das Prinzip zu erklären und eine Funktion in die Formel der h-Methode einzusetzen! Eine Ableitung ist noch nicht von Nöten.

Da ich bei dem Thema nicht ganz durchblicke wollte ich hier mal nachfragen wie das ganze funktioniert.

Wie setzt sich die Formel zusammen und wie genau setzt man die Funktion in diese ein?

GLG

Answer 1

Hallo

 man berechnet die Steigung der Sehnen der Funktion zwischen dem Punkt x und dem Punkt x+h (h kann positiv und negativ sein)

 die Steigung ist dann m=$$ \frac{f(x+h)-f(x)}{(x+h-x)}=\frac{f(x+h)-f(x)}{h} $$

jetz kann man h immer kleiner machen und hofft, dass die Steigung dann immer mehr die Steigung der Tangente ist.

Beispiel f(x)=x^2 ich will die Steigung der Tangente bei x=2

 dann rechne ich

 $$ \frac{(2+h)^2-2^2}{h} = \frac{2^2+2*h*2+h^2-2^2}{h}=\frac{4h+h^2}{h}=4+h $$

wenn ich jetzt h beliebig klein mache habe ich die Steigung 4 für x^2 an der Stelle 2

oder ich kann sagen alle Sehnensteigungen  links von 2 (also h negativ) und alle rechts von 2 unterscheiden sich nur um 2h der Unterschied wird immer kleiner je kleiner h ist. dann sagt man die tangente hat die einzig mögliche Steigung 4.

Gruß lul

Answer 2

Ein Beispiel
f ( x ) = x^2
Ein Punkt
( x | f ( x ) )
Im Abstand h wird ein 2.Punkt angenommen.
( x + h | f ( x + h )  )

Steigungsdreieck zur Berechung der
Sekantensteigung
m = Δ y / Δ x = [ f ( x + h ) - f ( x ) ] / ( x + h - x)
m = [ ( x + h ) ^2 - x^2 ] / h
m = ( x^2 + 2hx + h^2 - x^2 ) / h
m = ( 2hx + h^2  ) / h
m = [ h * ( 2x + h ) ] / h
m = 2x + h
Geht h gegegn 0
lim h −> 0 [ 2x + h ] = 2x

m = 2x

Dies ist die Steigungsfunktion von f ( x )

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Hier noch ein preisgekröntes Bild dazu