Möglichkeiten für Endspielpaarungen (Kombinatorik)

Question

Hello,

Im Viertelfinale eines Fußballturniers sind noch acht Mannschaften. Wie viele Endspielpaarungen sind zu diesem Zeitpunkt möglich?

Meine Idee:
8!=40320

Comments

Wie kommst Du auf \(8!\)? Siehe meine Antwort unten.

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8 Mannschaften

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8 Mannschaften

Schon klar :-D Aber damit rechnest Du z. B. aus, auf wie viele Arten die \(8\) Mannschaften in einer Tabelle ausgelistet werden können (Platz 1, Platz 2, ..., Platz 8).

Answer 1

Eine ähnliche Frage gab es hier bereits: https://www.mathelounge.de/352717/2-aufgaben-stochastik-wahrscheinlichkeit

Am Ende wird es nur zwei Mannschaften geben, die gegeneinander antreten. Die wählen wir wie folgt aus:

\(\binom{8}{2}=28\)

Comments

Ok, ich verstehe das systematsche Vorgehen auf jeden Fall nicht.

Sind alle Elemente der Grundmenge für die Aufgabe relevant?

Ja!

Sind alle Elemente voneinander unterscheidbar?

Ja ---> Permutation ohne Wiederholung

das ist aber komplett falsch

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Vielleicht hilft Dir folgender Gedanke:

Hierbei handelt es sich um "Ziehen ohne Zurücklegen". Du wählst aus 8 Mannschaften 2 aus (und das kann nicht zweimal dieselbe Mannschaft sein; deshalb ohne Zurücklegen).

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Ich glaube, dass es daran liegt das ich "Sind alle Elemente der Grundmenge für die Aufgabe relevant?" nicht ganz verstehe. Was ist denn die Grundmenge? oder wann ist diese relevant?

Bei den 8 Fußballmannschaften dachte ich dass diese relevant sind, wieso denn nicht?

Answer 2

Hallo Anton, es gibt vor dem Viertelfinale mit noch acht Mannschaften genau 4×4=16 mögliche Finalpaarungen, wenn die Viertelfinalpaarungen bereits feststehen und die Paarungen der folgenden Runden nicht gelost werden.

Wird jeweils gelost, gibt es mehr mögliche Paarungen.

Comments

https://www.mathelounge.de/352717/2-aufgaben-stochastik-wahrscheinlichkeit

vgl. mit der Antwort von Mathecoach.

"Endspielpaarungen: COMB(12,2)=66"

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Ja und?                         .

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Ich denke, dass das richtige Ergebnis auf die Aufgabenstellung (oder die, die gefragt ist) 28 ist.

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Anton, die von mir behaupteten 16 Paarungen nehme ich zurück, sie sind falsch.

Die von dir behaupteten 28 Paarungen müsstest du mal begründen.

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So, ich habe noch einmal drüber nachgedacht, ich bleibe dabei: Es gibt vor dem Viertelfinale mit noch acht Mannschaften genau 4×4=16 mögliche Finalpaarungen, wenn die Viertelfinalpaarungen bereits feststehen und die Paarungen der folgenden Runden nicht gelost werden.

Begründen lässt sich das mit der Überlegung, dass jede Mannschaft aus der einen  Hälfte des Turnierbaumes im Finale auf jede Mannschaft aus der anderen Hälfte treffen kann, nicht aber auf Mannschaften aus der selben Hälfte.

Gespielt wird in dieser Form zum Beispiel bei Tennisturnieren oder auch in der K.-o.-Runde der Fussball-WM, während etwa im DFB-Pokal die Paarungen jeweils ausgelost werden.

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Eigentlich fehlen die nörigen Turnierbeschreibungen.