Aus der Galoisteorie folgt der Sonderfall für b = prim: das kenne ich noch aus dem Studium. Da gilt dein Satz in beiden Richtungen. Sei das Galoisfeld F ( b ; n ) die n-dimensionale Erweiterung des Primrestklassenkörpers F ( b ) ; d. der Zerfällungskörper des Polynoms
f ( x ; n ) := x ^ ( b ^ n ) - x ( 1a )
Rein kombinatorisch enthält also F ( b ; n ) eine Anzahl von b ^ n Elementen ( Tensorprodukt ! ) in Übereinstimmung mit ( 1 ) Somit enthält die multiplikative Gruppe ( alle ohne die Null oder anders gewendet: die Gruppe W ( n ) der ( b ^ n - 1 ) ten Einheitswurzeln ) ( b ^ n - 1 ) Elemente. Diese sind also Lösungen des ( quasi Kreisteilungs)polynoms
g ( x ) = x ^ ( b ^ n - 1 ) = 1 ( 1b )
Für welche Dimensionen m < n geht der " Turm " auf? Also F ( b , m ) soll Erweiterung sein von F ( p ) und gleichzeitig Teilkörper von F ( p ; n ) Da stellt sich nämlich heraus; diese Dimension m kannst du nicht beliebig wählen, dass das aufgeht.
Ein solches m müsste erst mal die Forderung an ( p ^ m - 1 ) - te Einheitswurzeln befriedigen
x ^ ( p ^ m - 1 ) = 1 ( 2a )
Da aber grundsätzlich in einer Gruppe die Teilbarkeitsbeziehung erfüllt sein muss ° W ( m ) | ° W ( n ) , ist sicher notwendig
p ^ m - 1 | p ^ n - 1 ( 2b )
Nun trifft es sich aber, dass die Gruppe der Einheitswurzeln grundsätzlich zyklisch ist; zu jedem solchen Teiler von p ^ n - 1 finden wir auch eine entsprechende Untergruppe, die ( 2b ) löst. Und nehmen wir noch die Null mit herein, so haben wir F ( b ; m ) beisammen, den Zerfällungskörper des Polynoms
f ( x ; m ) := x ^ ( b ^ m ) - x ( 3 )
Man kann sich übrigens leicht überlegen, dass die ===> Galoisgruppe von F ( p ; n ) eben Falls zyklisch ist. Dabei entspricht die Ordnung der Galoisgruppe immer der Dimension der Erweiterung, also n . Und für den Zwischenkörper F ( b ; m ) muss entsprechend gelten m | n
