Aussage zur Lösbarkeit des folgenden linearen Gleichungssystems in Abhängigkeit von Paramerterwerten Lamda

Question

Brauche Hilfe bei folgender Aufgabe. Treffen Sie eine Aussage zur Lösbarkeit (keine, genau eine, unendlich viele Lösungen)

des folgenden linearen Gleichungssystems in Abhängigkeit von Paramterwerten λ

2x + (3+λ)y  =  5

5x +        4y = 10

Ändert sich die Lösbarkeit, wenn  man die 10 auf der rechten Seite durch einen geeignet gewählten Wert ersetzen würde ?

Answer 1

Es gibt keine oder unendlich viele Lösungen wenn die Koeffizientenmatrix linear abhängig ist. Also wenn die Determinante der Koeffizientenmatrix Null ist.

DET([2, 3 + λ; 5, 4]) = - 5·λ - 7 = 0 --> λ = -1.4

Es gibt keine Lösung wenn die erweiterte Koefizientenmatrix dann nicht linear abhängig ist. Es gibt unendlich viele Lösungen wenn die erweiterte Koefizientenmatrix dann auch linear abhängig ist.

Da die Koeffizientenmatrix abhängig ist wenn die untere Zeile das 2.5 der oberen ist, kann die erweiterte Koeffizientenmatrix nicht linear abhängig sein. Es gibt hier also dann keine Lösung.

Die Lösung ändert sich wenn wir die 10 durch eine 5*2.5 = 12.5 ersetzen.

Prüfe diese Überlegungen an geeigneten Rechnungen nach.

Comments

DET([2, 3 + λ; 5, 4]) = - 5·λ - 7 = 0 --> λ = -1.4 wie kommt man auf diese Lösung also kann ich das auch im Taschenrechner eingeben

---

Schau mal bei Wikipedia wie man die Determinante einer 2x2 Matrix bestimmt. das ist wirklich nicht schwer.

DET([a, b; c, d]) = a·d - b·c

---

Das verstehe ich nicht

Da die Koeffizientenmatrix abhängig ist wenn die untere Zeile das 2.5 der oberen ist, kann die erweiterte Koeffizientenmatrix nicht linear abhängig sein. Es gibt hier also dann keine Lösung.

Wie meinst du das mit den 2,5 ? Also wo kommt das her ?

---

5x ist genau das 2.5-fache von 2x

---

Also Ich weiss, dass die Formel einer

2x2 Determinate beispielsweise

|A| = |a b

          c d | = a*d-c*b ist aber wie wende ich das auf die obigen Gleichungen ?

---

DET([2, 3 + λ; 5, 4]) = 2·4 - (3 + λ)·5 = 8 - 15 - 5·λ = -7 - 5·λ = 0 --> λ = -7/5 = -1.4

---

Vielen lieben dank jetzt kann ich verstehen wie die Aufgabe geht

Answer 2

     Also ich mit meiner akademischen Bildung gehe über die ===> Determinante .  Denn so lange die ===> Koeffizientenmatrix regulär ist, hast du eindeutige Lösbarkeit; die beiden Gleichungen stellen quasi zwei sich schneidende Geraden dar.

      det  =  2  *  4  -  5  (  3  +  k  )  =  -  (  5  k  +  7  )  =  0  ===>  k  =  (  -  7/5  )      (  1  )

        Und jetzt setzen wir diesen k-Wert in deine erste Gleichung ein:

      2  x  +  (  3  -  7/5  )  y  =  5      |   *  HN      (  2a  )

      10  x  +  (  15  -  7  )  y  =  10  x  +  8  y  =  25        (  2b  )

      Deine  zweite Gleichung heißt aber

       5  x  +  4  y  =  10     |  *  2          (  3a  )

     10  x  +  8  y  =  20      (  3b  )

    Demnach hast du  in ( 2b ) die selben Koeffizienten wie in ( 3b ) ; hier liegen zwei parallele Geraden vor; und parallele Geraden schneiden sich nicht. Beweis: Das Subtraktionsverfahren  ( 2b ) - ( 3b ) führt auf den Widerspruch  0  =  5

   Ändert sich die Lösbarkeit?   Hättest dun rechts in ( 3a ) stehen 25/2 statt 10, ginge es gut. Dann wäre das LGS zwar lösbar, beide Gleichungen  ( 2b;3a ) würden dann aber das Selbe aussagen; die selbe Gleichung beschreiben.