Ausgleichsparabel für 4 Messpunkte bestimmen

Question

Eine Aufgabe zu 4 Messpunkte.

Bestimmen Sie für die 4 Messpunkte (siehe Tabelle)

x	-1.0	0.0	1.0	2.0
y	1.0	0.5	1.0	1.5

die Koeffizienten a0, a1, a2 der Ausgleichsparabel p(x) = a0 + a1·x + a2·x^2 mit Hilfe der Normalengleichungen für überbestimmte lineare Gleichungssysteme.

Answer 1

Hallo Klaus,

das Verfahren ist das gleiche, wie schon bei einer Deiner letzten Fragen. Es gilt diese Gleichung

$$A^TA \alpha = A^T y$$ zu lösen. Ich habe die gesuchten Parameter jetzt \(\alpha\) genannt (wie im Wiki), damit man sie nicht mit den \(x_i=\{-1;0;1;2\}\) aus der Aufgabenstellung verwechselt. Der Unterschied zu vorher ist, dass nun nach einer Parabel also nach einem Polynom 2.Ordnung gefragt ist, was durch 3 statt 2 Parameter beschrieben wird. Also ist hier

$$\alpha = \begin{pmatrix} a_0 \\ a_1\\ a_2 \\ \end{pmatrix}$$ und

$$A = \begin{pmatrix} 1 & x_1 &  x_1^2 \\ 1 & x_2 &  x_2^2\\ 1 & x_3 &  x_3^2\\ 1 & x_4 &  x_4^2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & -1 &  1 \\ 1 & 0 &  0\\ 1 & 1 &  1\\ 1 & 2 &  4 \end{pmatrix}$$ und das \(y\) bleibt wie vorher schon

$$y = \begin{pmatrix} 1 \\ 0,5\\ 1\\ 1,5 \end{pmatrix} $$ alles Einsetzen in \(A^TA\alpha = A^Ty\) gibt

$$ \begin{pmatrix} 4 & 2 & 6 \\ 2& 6 & 8\\ 6 & 8 & 18 \\ \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} a_0 \\ a_1\\ a_2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 0,5\\ 1\\ 1,5 \end{pmatrix} $$ mit der Lösung

$$\alpha = \begin{pmatrix} a_0 \\ a_1\\ a_2 \\ \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0,65 \\ -0,05\\ 0,25 \\ \end{pmatrix}$$ und hier die Ausgleichsparabel mit den gegebenen Punkten nochmal graphisch.

~plot~ (0.25x-0.05)x+0.65;{-1|1};{0|0.5};{1|1};{2|1.5};[[-4|+4|-1|+3]] ~plot~

Gruß Werner

Comments

Guten Tag Werner,

Wie ist man in der Matrix auf die 4,2,6

2,6,8  6,8,18 gekommen ?

Und auf 1,0,5,1,1,5 dann habe ich den Rechenweg gut verstanden. Genau die andere ausgleichsparabel war nur mit zwei.

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Ich sag jetzt doch noch was dazu.

Ich empfinde es als masiv unhöflich einen ellenlangen persönlichen Dialog zu führen und dann in der 3. Person (man...) angesprochen zu werden - meint er das nicht auch?

Zum andern macht es wohl keinen Sinn hier weiter zumachen ohne das hier https://www.mathelounge.de/526255/messpunkte-normalengleichungen-uberbestimmte-gleichungssysteme?show=527236#c527236

fertig zu haben. Das ist Verschwendung von MP!

Ich habe fertig...

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Nun ich empfinde es wirklich unnötig mit dir zu schreiben. Auf der einen Seite versuche ich die Aufgabe höflich zu fragen, ohne Wissen da mein Lehrer momentan krank ist und keine Unterlagen zur Verfügung stehen. Anschließen möchte ich die Schale nicht um den Brei reden möchte. Eine Redensart in der 3. Person mache ich keinesfalls bzw. ist nicht meine Art. Dieses Zitat " man " oder "wie" hast du Recht sollte ich lassen aber ist mir unbewusst aus dem Kopf gekommen. Ich entschuldige mich nochmal.

Gruß

Klaus

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Könnten Sie mir nochmal, ausführlicher die letzten beiden Matrizen erklären ?

Wie ist man in der Matrix auf die 4,2,6

2,6,8  6,8,18 gekommen ?

Und auf 1,0,5,1,1,5

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"Wie ist man in der Matrix auf die 4,2,6 2,6,8  6,8,18 gekommen ? " .. nun ich habe Fragen dieser Art befürchtet! Also das ist so:

$$A^T \cdot A = \begin{pmatrix} 4 & 2 & 6 \\ 2& 6 & 8\\ 6 & 8 & 18 \\ \end{pmatrix} $$ Du solltest Dir mal ganz in Ruhe die Matrizenmultiplikation anschauen. Das ist gar nicht schwer, es ist nur ein Verfahren, wie man größere Mengen von Zahlen organisiert. Z.B. die \(4\) links oben setzt sich zusammen aus dem Skalarprodukt der ersten Spalte von \(A\) mit sich selbst - im Detail:

$$\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1\\ 1 \end{pmatrix}^T \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1\\ 1 \end{pmatrix} = 1\cdot 1 + 1\cdot 1 + 1\cdot 1 + 1\cdot 1 = 4$$ Die \(8\) in der zweiten Zeile und dritten Spalte folgt aus dem Skalarprodukt der zweiten Spalte (transponiert) und der dritten Spalte von \(A\) - im Detail:

$$\begin{aligned} \begin{pmatrix} -1 \\ 0 \\ 1\\ 2 \end{pmatrix}^T \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 1\\ 4 \end{pmatrix} &= -1\cdot 1 + 0\cdot 0 + 1\cdot 1 + 2\cdot 4 \\ &= -1 + 0 + 1 + 8 = 8 \end{aligned}$$ usw. so geht das für alle Zahlen des Matrixprodukts \(A^T\cdot A\). Es wird jedes mal eine Spalte von \(A\) transponiert und mit einer weiteren oder derselben multipliziert - je nach Position.

"Und auf 1,0,5,1,1,5?" keine Ahnung woher diese Zahlen kommen, dass müsstest Du besser beantworten können als ich. Du hast sie nämlich oben rechts neben dem \(y\) in die Aufgabenstellung geschrieben - dort steht (rein formal): $$y = (1,0; \, 0,5; \, 1,0; \,1,5 )^T$$

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Hallo Werner,

Klingt richtig. Ich habe das y in die Aufgabenstellung geschrieben. Also habe die Matrixmultiplikation verstanden. Aber habe keine Ahnung wie du die Zahlen bei A *AT bekommen hast also die 4 habe ich verstanden die ganzen einser mal nehmen wie bekomme ich beispielsweise die 2 oder 4 in der ersten Spalte.

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Und wie hast du die Werte bei 0,65

-0,05 0,25 bekommen.

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Also ich verstehe nicht wie ich auf

A= 4 2 6

      2 6 8

      6 8 18

komme, weiss das es mit der Matrixmultiplikation zu tun hat aber weiss immer noch nicht A *AT wie das multipliziert wird.

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... weiß das es mit der Matrixmultiplikation zu tun hat

Hallo Klaus,

Ja - es ist das Ergebnis der Matrizenmultiplikation von \(A^T \cdot A\). Ich habe Dir das nochmal in ein Tabellenkalkulationsprogramm eingegeben - da sieht das so aus:

und beispielhaft habe ich Dir die dritte Zeile von \(A^T\) und die zweite Spalte von \(A\) markiert. Sie treffen sich in der dritten Zeile und zweiten Spalte des Ergebnisses. Die 8 dort berechnet sich dann aus

$$1 \cdot (-1) + 0 \cdot 0 + 1 \cdot 1 + 4 \cdot 2 = 8$$ Gruß Werner