( n 3 ) = ( 1/6 ) n ! / ( n - 3 ) ! = 1/6 n ( n - 1 ) ( n - 2 ) ( 1a )
( n 3 ) / ( n + 3 ) n ( n - 1 ) = ( n - 2 ) = ( 1b )
n - 2
= ------------------ ======> 1/6 ( 1c )
6 ( n - 3 )
Der Grenzwert ( 1c ) z.B. über die Krankenhausregel.
Die nächsten beiden Terme konvergieren nur, weil sie unecht gebrochen sind; ich empfehle da immer Polynomdivision ( PD ) genauer handelt es sich um PD durch Linearfaktor ( PDLF )
Ist dir eigentlich bekannt, dass PDLF mit dem Hornerschema geht? Dabei ist unser Beispiel noch viel zu speziell, um das allgemeine Prinzip zu durchschauen. Wir haben ein quadratisches Polynom
f ( x ) := a2 x ² + a1 x + a0 ( 2a )
a2 = 1 ; a1;0 = 0 ( 2b )
Im Prinzip geht doch PDLF so:
f ( x ) : ( x + 1 ) = m x + b Rest f ( - 1 ) ( 2c )
Auf der anderen Seite ist Onkel Horner eine ( endliche ) Folge
p < n > ( f ; - 1 ) ; n = 2 , 1 , 0 ( 3a )
p0 ( f ; - 1 ) = f ( - 1 ) ( 3b )
In ( 2c ) " kommt also das Selbe raus " wie in ( 3b ) - bloßer Zufall? Nein es besteht der Zusammenhang
p2 ( f ) = m ; p1 ( f ( - 1 ) = b ( 4a )
Spielen wir das mal durch
p2 ( f ) = a2 ( f ) = 1 = m ( 4b )
p1 ( f ; - 1 ) = a1 ( f ) - p2 = 0 - 1 = ( - 1 ) = b ( 4c )
p0 ( f ; - 1 ) = = a0 ( f ) - p1 = 0 + 1 = 1 = f ( - 1 ) ( 4d )
x ² : ( x + 1 ) = x - 1 + 1 / ( x + 1 ) ( 4e )
Was ich meine; dieses Schema funktioniert noch genau so, wenn f ein Polynom vom Grade 4 711 wäre.
In ( 4e ) hast du eindeutig einen ganz rationalen Term, der divergiert; aber vergleichen wir mal gegen den zweiten Beitrag. Du hast ja jetzt schon Übung.
g ( x ) : ( x - 1 ) = - x - 1 - 1 / ( x + 1 ) = - [ x + 1 + 1 / ( x - 1 ) ] ( 5a )
( 4e ) + ( 5a ) = - 2 + 1 / ( x + 1 ) - 1 / ( x - 1 ) ===> ( - 2 )
