Aloha :)
Für \(n,k\ge1\) gilt folgende wichtige Eigenschaft des Binomialkoeffizienten:$$\binom{n}{k}=\frac{n!}{k!\cdot(n-k)!}=\frac{\overbrace{n\cdot(n-1)!}^{=n!}}{\underbrace{k\cdot(k-1)!}_{=k!}\cdot\underbrace{(\,(n\pink{-1})-(k\pink{-1})\,)!}_{=(n-k)!}}=\frac{n}{k}\cdot\binom{n-1}{k-1}$$
Damit kannst du die Summe direkt umformen:
$$S_n=\sum\limits_{k=1}^nk\binom{n}{k}=\sum\limits_{k=1}^nk\cdot\frac nk\binom{n-1}{k-1}=n\sum\limits_{k=1}^n\binom{n-1}{k-1}$$$$\phantom{S_n}=n\sum\limits_{k=1\pink{-1}}^{n\pink{-1}}\binom{n-1}{(k\pink{+1})-1}=n\sum\limits_{k=0}^{n-1}\binom{n-1}{k}=n\cdot2^{n-1}\quad\checkmark$$
Falls dir der letzte Schritt nicht klar ist, erinnere dich an den binomischen Lehrsatz:$$(a+b)^n=\sum\limits_{k=0}^n\binom{n}{k}\cdot a^{n-k}\cdot b^k$$wende ihn mit \((n-1)\) statt \(n\) an:$$(a+b)^{n-1}=\sum\limits_{k=0}^{n-1}\binom{n-1}{k}\cdot a^{n-1-k}\cdot b^k$$und setze schließlich \(a=1\) und \(b=1\) ein:$$(1+1)^{n-1}=\sum\limits_{k=0}^{n-1}\binom{n-1}{k}\cdot 1^{n-1-k}\cdot 1^k\quad\implies\quad 2^{n-1}=\sum\limits_{k=0}^{n-1}\binom{n-1}{k}$$
