Widerlegen der Aussage - Binomialkoeffizient-Summen

Question

Aufgabe:

a) Widerlegen Sie:

\( \forall n \in \mathbb{N}:\left[\sum \limits_{k=0}^{n}\left(\begin{array}{l} n \\ k \end{array}\right)=2^{n} \rightarrow \sum \limits_{k=0}^{n+1}\left(\begin{array}{c} n+1 \\ k \end{array}\right)=4^{n}\right] \)

Answer 1

Σ (k = 0 bis m) (m über k) = 2^m

Subst m = n + 1

Σ (k = 0 bis n + 1) (n + 1 über k) = 2^(n + 1)

Σ (k = 0 bis n + 1) (n + 1 über k) = 2·2^n

Nun ist aber 2·2^n ≠ 4^n