Binomialkoeffizient, Aussage richtig oder falsch?

Question

Wie kann man das beweisen ohne, dass man mehr Mals n über k berechnen muss und dann, mehr Mals addieren muss?

Text erkannt:

\( \sum \limits_{k=2}^{11}\left(\begin{array}{c}9 \\ k-2\end{array}\right)=512 \)

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mit 2^9 = 512

Answer 1

Es ist

        \(\sum \limits_{k=2}^{11}{9\choose {k-2}}=\sum\limits_{k=0}^9{9 \choose k}\).

Dabei ist \({9 \choose k}\) die Anzahl der \(k\)-elementigen Teilmengen einer \(9\)-elementigen Menge. Was ist dann \(\sum\limits_{k=0}^9{9 \choose k}\)?

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Vielen Dank, und was ist wenn man so was hier hat?

Text erkannt:

\( \sum \limits_{k=0}^{42}(-1)^{k}\left(\begin{array}{c}42 \\ 42-k\end{array}\right)=0 \)

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Es gilt \({n\choose k} = {n\choose {n-k}}\).

Answer 2

$$\sum \limits_{k=2}^{11}\begin{pmatrix} 9\\k-2 \end{pmatrix}$$

Indexverschiebung gibt

$$\sum \limits_{k=0}^{9}\begin{pmatrix} 9\\k \end{pmatrix}$$

und das ist nach der klassischen Summenformel 2^9=512

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Vielen Dank, und was ist wenn man so was hier hat?

Text erkannt:

\( \sum \limits_{k=0}^{42}(-1)^{k}\left(\begin{array}{c}42 \\ 42-k\end{array}\right)=0 \)

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Diese Frage wurde gestern schon gestellt: https://www.mathelounge.de/883632/