Wie lautet die Wahrscheinlichkeit, dass bei sechsmaligem Würfeln genau eine 6 gewürfelt wird?
Genau eine 6 ist relativ einfach zu berechnen. Wenn Du Dir ein Baumdiagramm vorstellst, gibt es die Möglichkeit, dass beim ersten Wurf eine 6 kommt und für die nächsten fünf gar keine mehr, was die Fragestellung erfüllt.
Die Wahrscheinlichkeit für eine solche Wurfkombination beträgt:$$ P = \frac { 1 }{ 6 } \cdot (\frac { 5 }{ 6 })^{5} ≈ 0.07 $$ Allerdings besteht auch die Möglichkeit, dass die 6 beim zweiten, dritten, vierten, fünften oder sechsten Wurf gewürfelt wird und jeweils bei den anderen eine beliebige andere Augenzahl. Folglich gibt es sechs mögliche Positionen der 6 und daher auch 6 verschiedene Pfade im Baumdiagramm, die die Fragestellung erfüllen. Aus diesem Grund muss die Wahrscheinlichkeit erneut mit 6 multipliziert werden:$$ P = 6 \cdot \frac { 1 }{ 6 } \cdot (\frac { 5 }{ 6 })^{5} ≈ 0.40 $$
Wie lautet die Wahrscheinlichkeit, dass bei zwölfmaligem Würfeln viermal eine 6 gewürfelt wird?
Dies ist komplizierter. Wir wissen zwar, dass es vier Sechsen gibt (jeweils mit der Wahrscheinlichkeit von einem Sechstel) und acht andere Augenzahlen (jeweils mit der Wahrscheinlichkeit von fünf Sechsteln), aber es gibt viel mehr Anordnungen der vier Sechsen als beim letzten Mal. Zum Beispiel könnten wir die vier Sechsen im 1., 3., 9. und 12. Wurf erhalten, oder im 7., 8., 11. und 12. Wurf, oder im 1., 2., 3., 5. Wurf und so weiter. Dies könnte man noch lange so weiterführen, d.h. man benötigt eine Formel um die Anzahl der möglichen Anordnungen, also die Anzahl der Pfade im Baumdiagramm, zu bestimmen.Diese ist „n über k” (der Binomialkoeffizient) mit n als Anzahl der Würfe (12) und k als Anzahl des festgelegten Ergebnisses (4). Das sieht wiefolgt aus:$$ \binom{10}{4} = 210 $$ Da es 210 solcher Pfade gibt, müssen wir die Wahrscheinlichkeit eines einzelnen solchen Pfades mit 210 multiplizieren. Es gilt also:$$ P = 210 \cdot (\frac { 1 }{ 6 })^{4} \cdot (\frac { 5 }{ 6 })^{8} ≈ 0.04 $$
Maurice
