Summen mit binomialkoeffizient berechnen

Question

$$\text{ für } n \in \mathbb{N} \sum \limits_{k=0}^{n}\begin{pmatrix} n\\k \end{pmatrix}*\frac{a}{2^k}$$

Könntet ihr mir vielleicht einen Stoß geben, da ich leider zurzeit komplett nicht verstehe wie man es berechnen und womit ich anfangen soll.

Answer 1

Aloha :)

$$S=\sum\limits_{k=0}^n\binom{n}{k}\,\frac{a}{2^k}=a\sum\limits_{k=0}^n\binom{n}{k}\,\left(\frac{1}{2}\right)^k=a\sum\limits_{k=0}^n\binom{n}{k}\,1^{n-k}\left(\frac{1}{2}\right)^k$$Mit dem binomischen Lehrsatz, \((a+b)^n=\sum\limits_{k=0}^n\binom{n}{k}a^{n-k}b^k\), finden wir:$$S=a\left(1+\frac{1}{2}\right)^n=a\left(\frac{3}{2}\right)^n=\frac{a\,3^n}{2^n}$$