Analysis: Binomialkoeffizient multipliziert mit der Potenzsumme allgemeine Formel

Question

Aufgabe:

Gegeben ist s_p(n):= \( \sum\limits_{k=1}^{n}{n} \) k^p = 1^p+...+n^p (Potenzsumme) mit n,p ∈ ℕ.

Beweise die Formel \( \begin{pmatrix} p+1\\0 \end{pmatrix} \) s₀(n) + \( \begin{pmatrix} p+1\\1 \end{pmatrix} \) s₁(n)+...+ \( \begin{pmatrix} p+1\\p \end{pmatrix} \) s_p(n) = (n+1)^p+1 -1

Problem/Ansatz:

Ich komme bei der Aufgabe momentan kein bisschen weiter. Vermutung ist, dass ich den binomischen Lehrsatz anwenden muss und dann das ganze vermutlich noch per Induktion beweisen. Aber auf einen richtigen Ansatz komme ich leider nicht :(

Vielleicht hat ja dafür jemand einen kleinen Tipp.

Comments

binomischen Lehrsatz anwenden muss   sehe ich auch so
per Induktion beweisen   ist nicht nötig.

\( \sum\limits_{j=0}^{p} ( {\binom{p+1}{j}·s_j(n)} )\)

=  \( \sum\limits_{j=0}^{p} ( {\binom{p+1}{j}·\sum\limits_{k=1}^{n}k^j} ) \)

=  \( \sum\limits_{k=1}^{n} \sum\limits_{j=0}^{p}{\binom{p+1}{j}·k^j} \)

=  \( \sum\limits_{k=1}^{n} (\sum\limits_{j=0}^{p+1}{\binom{p+1}{j}·k^j}-\binom{p+1}{p+1}·k^{p+1}) \)

=  \( \sum\limits_{k=1}^{n} (k+1)^{p+1}-k^{p+1}) \)  wegen Binom. Satz

=  \( (n+1)^{p+1} - 1 \)  weil Teleskopsumme