Wendepunkt mit waagerechter Tangente - Beziehung zwischen Koeffizienten

Question

Hi, habe eine funktion:

 

f(x) = x³ + bx² + cx + d

 

Frage: Welche Beziehung muss zwischen den Koeffizienten b und c bestehen, damit der Graph von f einen Wendepunkt mit waagerechter Tangente besitzt?

 

Meine Überlegungen:

 

Wendepunkt mit waagerechter Tangente heißt ja Sattelpunkt.

Das heißt,  f ' ' (x) = 0 und f ' ' ' (x) != 0.

 

Hab jetzt  f ' '(x) = 0 gemacht und folgendes Ergebnis bekommen:

x = $$ -\frac { 1 }{ 3 } b $$

 

also ist die x-Koordinate des Wendepunktes -1/3b

 

Und an dieser Stelle müsste ja eigentlich die Steigung des Graphen null sein. Also kann man das machen:

f ' (-1/3b) = 0

 

Dann kommt bei mir folgendes Ergebnis raus

c = $$ { -(\frac { b }{ 3 } ) }^{ 2 }-2b $$

 

Nur jetzt habe ich keine Ahnung, was ich damit anfangen soll (falls es überhaupt stimmt).

 

Das müsste doch eigentlich heißen, dass der Wert von c eben das von oben sein muss, damit der wendepunkt eine waagerechte Tangente hat, oder irre ich mich da jetzt?

 

Danke schon mal

 

LG

Comments

Wenn du richtig gerechnet hast, hast du bei c = -(b/3)^2 -2b

die gesuchte 'Beziehung' gefunden.

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Ja, aber ich habe es mal ausprobiert


für b = 1


und somit für c = -2,111111


Aber wenn ich das einsetze, habe ich keinen Wendepunkt mit einer waagerechten Tangenten, wenn ich mir das auf dem GTR anzeigen lasse.


Ich finde nur den Rechenfehler bei mir nicht. :(

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Kontrolliere mal noch mein Resultat unten.

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Ja, danke jetzt stimmt es :D


Hab also nur ein x vergessen^^


Vielen Dank !! :D

Answer 1

3(-1/3 b)^2 + 2b (-1/3b) + c = 0

b^2 / 3 - 2b^2 / 3 + c = 0

c = b^2 / 3