Anzahl und Art der Extremstellen aus Funktionenschar fk (x) = kx^2 - 4x + 4 - 16/(x+2)^2

Question

f_k (x) = kx² - 4x  + 4  - 16/(x+2)²

 

Bestimme Art und Anzahl der Extremstellen in Abhängigkeit von k

 

Wie geht das , habe mittels der ableitung versucht nach x aufzulösen das geht aber irgendwie schlecht

 

Bitte um eure Hilfe

Answer 1

fk(x) = -16/(x + 2)^2 + k·x^2 - 4·x + 4

fk'(x) = 32/(x + 2)^3 + 2·k·x - 4

fk''(x) = 2·k - 96/(x + 2)^4

Extremstellen fk'(x) = 0

32/(x + 2)^3 + 2·k·x - 4 = 0
32 + 2·k·x·(x + 2)^3 - 4·(x + 2)^3 = 0
2·k·x^4 + 12·k·x^3 - 4·x^3 + 24·k·x^2 - 24·x^2 + 16·k·x - 48·x = 0

2·x·(k·x^3 + 6·k·x^2 - 2·x^2 + 12·k·x - 12·x + 8·k - 24) = 0

Ein mögliches Extrema liegt bei x = 0

fk''(0) = 2·k - 96/(0 + 2)^4 = 2·k - 6 ≠ 0

Für k = 3 erwarte ich eventuell einen Sattelpunkt.

Wie man dem kubischen Term beikommen kann, weiß ich allerdings auch nicht.