Es sei A ∈ ℂ5x5 eine Matrix mit höchstens zwei verschiedenen Eigenwerten λ, µ ∈ ℂ, und #A ∈ ℂ5x5 ihre Jordansche Normalform. Rang(A) = 2 und Spur(A) = -2
Begründe, weshalb λ = 0 ein Eigenwert von A ist.
Als Lösung wurde mir gegeben:
Wegen Rang(A) = 2 < 5 gilt:
dim(kern(A - 0*I5)) = dim(kern(A) = 5 - 2 = 3 > 0, wordurch 0 ein Eigenwert von A ist.
Ich habe Verständnisprobleme, wenn man mithilfe vom Rang und der Dimension arbeiten muss, weshalb ich mir nicht sicher bin von wo die 5 und die 2 herkommen.
Meine Vermutung liegt bei dem Dimensionssatz:
sei Φ ein Homomorphismus: V → W, so gilt:
dim(V) = dim(Kern(Φ) + dim(Bild(Φ))
Ich weiß, dass dim(Bild(Φ)) = Rang(Φ) ist.
Meiner Vermutung nach wäre dann dim(A) = 5.
So würde sich folgendes ergeben:
dim(Kern(A) = dim(A) - dim(Bild(Φ)) ≅ dim(Kern(A) = dim(A) - Rang(A) = 5 - 2 = 3