Warum ist λ ein Eigenwert von A

Question

Es sei A ∈ ℂ^5x5 eine Matrix mit höchstens zwei verschiedenen Eigenwerten λ, µ ∈ ℂ, und #A ∈ ℂ^5x5 ihre Jordansche Normalform. Rang(A) = 2 und Spur(A) = -2
Begründe, weshalb λ = 0 ein Eigenwert von A ist.

Als Lösung wurde mir gegeben:

Wegen Rang(A) = 2 < 5 gilt:

dim(kern(A - 0*I₅)) = dim(kern(A) = 5 - 2 = 3 > 0, wordurch 0 ein Eigenwert von A ist.

Ich habe Verständnisprobleme, wenn man mithilfe vom Rang und der Dimension arbeiten muss, weshalb ich mir nicht sicher bin von wo die 5 und die 2 herkommen.
Meine Vermutung liegt bei dem Dimensionssatz: 
sei Φ ein Homomorphismus: V → W, so gilt:
dim(V) = dim(Kern(Φ) + dim(Bild(Φ))

Ich weiß, dass dim(Bild(Φ)) = Rang(Φ) ist.
Meiner Vermutung nach wäre dann dim(A) = 5.
So würde sich folgendes ergeben:

dim(Kern(A) = dim(A) - dim(Bild(Φ))  ≅ dim(Kern(A) = dim(A) - Rang(A) = 5 - 2 = 3

Answer 1

Deine Vermutungen sind alle richtig.

dim (A) = 5 stimmt nicht so ganz. Eine Matrix hat keine Dimension.

Allerdings beschreibt die Matrix eine lin. Abb. von

C^5 nach C^5, also ist dim(V) aus der Dimensionsformel genau die 5.

Comments

Danke für die Antwort :)

Wenn ich mich nicht irre, dann wird die Dimension der Abbildung durch die Anzahl der Spalten von A gegeben?

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Genau, das ist die Dimension des Raumes, der der Definitionsbereich der Abbildung ist.