Fundamentalsystem einer DGL

Question

Hat jemand tipps für mich bei dieser Aufgabe?

Gegeben sei folgende Differentialgleichung dritter Ordnung
y′′′(x) + 2y′′(x) + y′(x) + 2y(x) = 2x^2 − 1.
(a) Bestimmen Sie ein reelles Fundamentalsystem und die Lösung der homogenen Gleichung.
(b) Bestimmen Sie eine partikuläre Lösung der inhomogenen Gleichung mit einem Ansatz des Typs der rechten Seite.
(c) Bestimmen Sie die allgemeine Lösung.

Answer 1

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Comments

Oben ist mein Ansatz über Matrix, da wir das über EIgenvektoren usw machen ?

Kann das passen ?

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Wie kommst du zuerst bei der homogenen Lösung auf c*e^{-2x} und dann auf die Lösung mit sin und cos?

Answer 2

  Lässt sich elementar separieren.

             t  ³  +  2  t  ²  +  t  +  2  =       (  1a  )

     =     t  ²  (  t  +  2  )  +  (  t  +  2  )  =  0    (  1b  )

            (  t  +  2  )  (  t  ²  +  1  )  =  0      (  1c  )

         t1  =  (  -  2  )  ,  t2;3  =  (  +/-  i  )     (  1d  )

     Jetzt schlägt er den inhomogenen Ansatz vor

       y  =  a  x  ²  +  b  x  +  c        (  2  )

   4  a  +  (  2  a  x  +  b  )  +  2  (  a  x  ²  +  b  x  +  c  )  =  2  x  ²  -  1      (  3  )

     Koeffizientenvergleich

      2  a  =  2  ===>  a  =  1          (  4a  )

      2  (  a  +  b  )  =  0  ===>  b  =  (  -  1  )       (  4b  )

      4  a  +  b  +  2  c  =  (  -  1  )  ===>  c  =  (  -  2  )      (  4c  )

     (  4ac  )  bilden ein LGS  vom Gaußschen Dreieckstyp .

Answer 3

Hallo

 Fundamentalsystem: Ansatz y=e^{r*t}  differenzieren, durch e^{r*t} teilen, die Lösungen von t aus der Gleichung dritten Grades bestimmen , eine Lösung (r=-2) raten, durch (r+2) Polynomdivision, quadratische Gleichung lösen.

dann ist das Fundamentalsystem die 3 e Funktionen,

dann die partikuläre Lösung durch ansatz y_ß=ax^2+bx+c lösen

 wieder Ableitungen bilden, in die inh. dgl einsetzen und a,b,c aus Koeffizientenvergleich bestimmen.

Gruß lul

Comments

Passt das so ?

Wir machen das als Matrix und dann Eigenvektoren usw?

Ist die Matrix so in Ordnung?