Auflösen zweier Gleichungen mit zwei Unbekannten

Question

Kann mir jmd. helfen ich verstehe das einfach nicht...

Aufgabe:

(L-L2) /10 = L / √ ( 20² - L² )
und
L2/10 =L / √ ( 30² - L² )

gesucht wird L

Comments

Ist L2 bekannt oder soll das L² sein?

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Hallo TR,

nein L2 ist nicht bekannt. (Soll nicht L hoch zwei sein)

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Vermutlich L_(2), also eine zweite Variable ;).

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Falls Du nur an der Lösung interessiert bist: außer der offensichtlichen Lösung von $L_a=0$ gibt es noch die beiden Lösungen $L_{b,c}=\pm 12,3119$

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Vielen dank schon einmal, nein ich würde es gerne verstehen wollen und selbst nachrechnen. wie kommt man auf die ±12,3119

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Verrat den Lesern doch mal den Hintergrund des Gleichungssystems!

Answer 1

(L-L2) /10 = L / √ ( 20² - L² )
und
L2/10 =L / √ ( 30² - L² )

L/10 - L2 /10 = L / √ ( 20² - L² )
und
L2/10 =L / √ ( 30² - L² )
-------------------------------------         (I) + (II)

L/10 = L/ √ ( 20² - L² ) + L/√ ( 30² - L² )           (III)

Hier hast du nur noch eine Unbekannte!

1. Lösung L = 0.

Falls L ≠ 0. Gleichung (III)  durch 0 dividieren.

1/10 = 1/ √ ( 20² - L² ) + 1/√ ( 30² - L² )          | * 10 √ (( 20² - L² ) ( 30² - L² ) )

√ (( 20² - L² ) ( 30² - L² ) ) = 10 √ ( 30² - L² ) + 10 √ ( 20² - L² ) 

Jetzt kannst du mit 2 mal quadrieren die Wurzeln wegbringen. Beachte: Binomische Formel rechts.

Kontrolle mit

https://www.wolframalpha.com/input/?i=√((+20²+-+L²+)+(+30²+-+L²+)+)+…

Ausserdem die erste Lösung L=0 nicht vergessen.

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Vielen Dank für die schnelle Hilfe

Answer 2

Vielleicht beide nach L2 auflösen und dann gleichsetzen. So hätte ich das probiert.

Ich kann die Lösung bei ca. L ≈ ± 12.3118572377867 bestätigen.

Ohne CAS ist das aber dank der Wurzeln etwas unbequem zu lösen.

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Vielen Dank für die schnelle Hilfe

Answer 3

Die zweite Gleichung - also das $L_2/10$ kann man direkt in die erste einsetzen:

$$\frac{L}{10} - \frac{L}{\sqrt{30^2 - L^2}} = \frac{L}{\sqrt{20^2-L^2}}$$ erste Lösung $L_a=0$. Exklusiv dieser Lösung lässt sich durch $L$ teilen $$\frac{1}{10} - \frac{1}{\sqrt{30^2 - L^2}} = \frac{1}{\sqrt{20^2-L^2}}$$ $$\frac{1}{10}\sqrt{20^2-L^2}\sqrt{30^2 - L^2} - \sqrt{20^2-L^2} = \sqrt{30^2 - L^2}$$ $$\frac{1}{10}\sqrt{20^2-L^2}\sqrt{30^2 - L^2} = \sqrt{30^2 - L^2} + \sqrt{20^2-L^2}$$ $$\frac{1}{10^2}(20^2-L^2)(30^2 - L^2) = 30^2 - L^2 + 2\sqrt{30^2 - L^2} \sqrt{20^2-L^2} + 20^2-L^2$$ $$\frac{1}{100} L^4 - 11L^2 + 2300 = 2\sqrt{30^2 - L^2} \sqrt{20^2-L^2}$$ $$\left(\frac{1}{100} L^4 - 11L^2 + 2300 \right)^2= 4(30^2 - L^2)(20^2-L^2)$$ $$\frac{1}{10^4}L^8 - \frac{11}{50}L^6 + 167 L^4 - 50600L^2 + 5290000 \\ \space = 4L^4 -5200L^2 + 1440 000$$ $$\frac{1}{10^4}L^8 - \frac{11}{50}L^6 + 163 L^4 - 45400L^2 + 3850000 =0$$ ab hier kann man dann noch $L^2=z$ substituieren und danach geht es nummerisch weiter. Man erhält für $z$ zwei reelle Lösungen, von denenen eine wiederum ausfällt, da sie größer als 400 ist, und somit zu einem negativen Ausdruck unterhalb der Wurzel in der Ausgangsgleichung führt. Es bleibt $z \approx 151,583$, aus der dann beide Lösungen für $L$ raus fallen.

Wobei man das ganze gleich nummerisch lösen könnte, also z.B. mit dem Newtonverfahren. Dann spart man sich die Rechnerei und das Risiko, sich zu verrechnen.

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Geht man von folgender Gleichung aus (s.o.):

$$0 = \frac{1}{10} - \frac{1}{\sqrt{30^2 - L^2}} - \frac{1}{\sqrt{20^2-L^2}}$$ so kann man bereits abschätzen, dass $|L|<20$ ist. Wähle ich nun den Algorithmus Regula Falsi, und starte (willkürlich!) mit den Werten $L_1=1$ und $L_2=15$, so kommt man in wenigen Schritten zu einer Lösung

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Vielen Dank für die schnelle Hilfe