Die zweite Gleichung - also das \(L_2/10\) kann man direkt in die erste einsetzen:
$$\frac{L}{10} - \frac{L}{\sqrt{30^2 - L^2}} = \frac{L}{\sqrt{20^2-L^2}}$$ erste Lösung \(L_a=0\). Exklusiv dieser Lösung lässt sich durch \(L\) teilen $$\frac{1}{10} - \frac{1}{\sqrt{30^2 - L^2}} = \frac{1}{\sqrt{20^2-L^2}}$$ $$\frac{1}{10}\sqrt{20^2-L^2}\sqrt{30^2 - L^2} - \sqrt{20^2-L^2} = \sqrt{30^2 - L^2}$$ $$\frac{1}{10}\sqrt{20^2-L^2}\sqrt{30^2 - L^2} = \sqrt{30^2 - L^2} + \sqrt{20^2-L^2}$$ $$\frac{1}{10^2}(20^2-L^2)(30^2 - L^2) = 30^2 - L^2 + 2\sqrt{30^2 - L^2} \sqrt{20^2-L^2} + 20^2-L^2 $$ $$ \frac{1}{100} L^4 - 11L^2 + 2300 = 2\sqrt{30^2 - L^2} \sqrt{20^2-L^2}$$ $$ \left(\frac{1}{100} L^4 - 11L^2 + 2300 \right)^2= 4(30^2 - L^2)(20^2-L^2)$$ $$\frac{1}{10^4}L^8 - \frac{11}{50}L^6 + 167 L^4 - 50600L^2 + 5290000 \\ \space = 4L^4 -5200L^2 + 1440 000$$ $$\frac{1}{10^4}L^8 - \frac{11}{50}L^6 + 163 L^4 - 45400L^2 + 3850000 =0$$ ab hier kann man dann noch \(L^2=z\) substituieren und danach geht es nummerisch weiter. Man erhält für \(z\) zwei reelle Lösungen, von denenen eine wiederum ausfällt, da sie größer als 400 ist, und somit zu einem negativen Ausdruck unterhalb der Wurzel in der Ausgangsgleichung führt. Es bleibt \(z \approx 151,583\), aus der dann beide Lösungen für \(L\) raus fallen.
Wobei man das ganze gleich nummerisch lösen könnte, also z.B. mit dem Newtonverfahren. Dann spart man sich die Rechnerei und das Risiko, sich zu verrechnen.
