Woran kann es liegen, dass nur eine Nullstelle nach Formeleinsetzung stimmt?

Question

Ich habe ein Polynom vierten Grades:

2x^4+35x^3-23x^2-45x+9

Von diesem möchte ich die Nullstellen bestimmen:

https://www.wolframalpha.com/input/?i=-35%2F(4*2)-5.093786535-0.5sqrt(-4*5.093786535%5E2-2*(-(4043%2F32))%2B((47875%2F64)%2F(5.093786535))

Die Formeln sind hier zu finden:

https://en.wikipedia.org/wiki/Quartic_function

Leider stimmt nur die obengenannte Wolframalpha-Eingabe.

Handelt es sich um einen Zufall und ich habe mich verrechnet oder läuft irgendwas anderes schief?

Comments

Hallo Anton,

Da wir nicht wissen, was Du gerechnet hast, können wir auch nicht wissen, ob Du Dich verrechnet hast. Ich habe \(x_0\approx -18,06683087\) als eine der vier Nullstellen heraus bekommen, was identisch zu dem Ergebnis bei Wolfram Alpha ist.

Zufall gibt es hier wohl nicht. Was hast Du denn gerechnet?

Gruß Werner

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Hallo Werner,

Rechenweg:

$$  p=\frac{8 \cdot 2 \cdot (-23)-3 \cdot 35^2}{8 \cdot 2^2}=-\frac{4043}{32} $$$$  q=\frac{35^3-4 \cdot 2 \cdot 35 \cdot (-23)+8 \cdot 2^2 \cdot (-45)}{8 \cdot 2^3}=\frac{47875}{64}$$$$  Δ_{0}=(-23)^2-3\cdot 35 \cdot (-45)+12\cdot 2 \cdot 9=5470 $$$$  Δ_{1}=2\cdot (-23)^3-9 \cdot 35 \cdot (-23)\cdot (-45)+27 \cdot 35^2\cdot 9+27\cdot 2\cdot (-45)^2-72\cdot 2\cdot (-23)\cdot 9=86474 $$Da wir aber denn Fall Δ>0 angtreffen ist es einfacher das Polynom über die Trigonometrische Funktion zu lösen. Hierbei ändert sich die Formel für S:$$ S=\frac{1}{2}\sqrt[]{-\frac{2}{3}p+\frac{2}{3a}\sqrt[]{\Delta_0}cos\frac{ø}{3}} $$ wobei ø wie folgt bestimmt wird:$$ ø=arccos \left(\frac{\Delta_1}{2\sqrt[]{Δ{^{3}_{0}}}}\right) $$$$ ø=arccos \left(\frac{86474}{2\sqrt[]{{4412^3}}}\right)≈ 83.86482 $$$$ S=\frac{1}{2}\sqrt[]{-\frac{2}{3}\cdot \left(-\frac{4043}{32}\right)+\frac{2}{3\cdot 2}\sqrt[]{4412} \cdot cos\left(\frac{83.86482 }{3}\right)} $$$$S≈5.093786532$$ 

Dann einfach nur noch in die Formel eingesetzt

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b=35

a=2

S=5.093786532

p=-(4043/32)

q=47875/64

Bei der ersten Formel mit - von dem ± kommt https://www.wolframalpha.com/input/?i=-35%2F(4*2)-5.093786535-0.5sqrt(-4*5.093786535%5E2-2*(-(4043%2F32))%2B((47875%2F64)%2F(5.093786535))

Das richtige raus. Sonst aber nicht???

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Das macht doch eigentlich gar keinen Sinn. Normalerweise sollte es funktionieren. Ich habe jetzt mehrfach meine Eingaben überprüft und kann keinen Fehler finden.

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Hat keiner mehr eine Idee?

Answer 1

Hallo

 die Frage ist ohne deine Rechnung nicht zu beantworten. Gib doch einfach die Gleichung in Wolfram ein, und das spuckt alle 4 Ergebnisse aus.

da die Formeln recht mühsam sind werde ich mich sicher nicht anstrengen deine Formel nachzuvollziehen. wenn wolfram das richtige Ergebnis sagt, hast du halt beim TR einen Fehler gemacht.

 Was genau willst du denn wissen?

Gruß lul

Comments

Ich möchte die Gleichung ohne jegliche maschinelle Hilfe bestimmen

Answer 2

Die Nullstellen sind ungefähr

x = 1.358665815;  x = -0.9790761430;  x = 0.1872412007;  x = -18.06683087

Enspricht das deinen Erkenntnissen oder Erwartungen?

Comments

Es gibt zwei Formeln jeweils mit ±. Ich bekomme nur einmal eine richtige Nullstelle heraus. -18.067

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Oben in den Kommentaren siehst du die werte für die einzelen Parameter.

b=35

a=2

S=5.093786532

p=-(4043/32)

q=47875/64

Bei der ersten Formel mit - von dem ± kommt https://www.wolframalpha.com/input/?i=-35%2F(4*2)-5.093786535-0.5sqrt(-4*5.093786535%5E2-2*(-(4043%2F32))%2B((47875%2F64)%2F(5.093786535))

Das richtige raus. Sonst aber nicht???