Bestimmen Sie das Minimum der Kostenfunktion mit Hilfe der Eliminationsmethode

Question

Ein Unternehmen stellt drei Produkte in den Mengen x₁, x₂ und x₃ her. Eine Produktionsvorschrift besagt, dass insgesamt genau 140 Einheiten hergestellt werden müssen. Die Kostenfunktion für den Produktionsprozess ist gegeben durch:

\( K(x_1, x_2, x_3) = 4x^2_1 + 2x^2_2 + x^2_3 \)

Bestimmen Sie das Minimum der Kostenfunktion mit Hilfe der Eliminationsmethode.

Hinweis: Nach der Elimination ergibt sich eine Funktion von zwei Variablen, die zu minimieren ist. Die Überprüfung der hinreichenden Bedingungen ist erforderlich!

So habe ich das versucht zu machen, aber ich komme auf das falsche Ergebnis :(

Kann mir jemand bei Eliminationsmethode behilflich sein?

Answer 1

$$ K(x_1,x_2,x_3)=4x_1^2+2x_2^2+x_3^2 $$

unter Nebenbedingung:

$$ K(x_2,x_3)=4(140-x_2-x_3)^2+2x_2^2+x_3^2 $$

am einfachsten ist es, nicht asuzumultiplizieren, sondern mit Kettenregel ableiten:

$$ K_{x_2}=-8(140-x_2-x_3)+4x_2=0\\K_{x_3}=-8(140-x_2-x_3)+2x_3=0 $$

Subtrahiere nun Gleichung 2 von Gleichung 1 :

$$ 4x_2-2x_3=0\\x_2=\frac{1}{2}x_3 $$

setze in Gleichung 2 ein:

$$ -8(140-\frac{1}{2}x_3-x_3)+2x_3=0\\-8(140-3x_3/2)+2x_3=0\\-1120+14x_3=0\\x_3=80\\x_2=40\\x_1=20 $$

Die Hesse-Matrix bleibt noch zu überprüfen, aber es passt ;)

$$ K_{min,x_1+x_2+x_3=140}=11200$$

Comments

grazie :)))))

Answer 2

Gleich am Anfang von K(x₂,x₃)= fehlt der Faktor 4. Der fehlt dann gleich mehrmals.