log(1/x) =-log(x) wie kommt man darauf?

Question

Warum kann man log(1/x) auch als -log(x) schreiben?

Answer 1

So zum Merken, ohne mathematischen Ballast, sieht das so aus:

Der Logarithmus reduziert jede Operation auf die nächst einfachere. Heißt: aus Potenz wird Mal, aus Mal wird Plus und aus einer Division wird Minus. Formal heißt das: $$\log(a \cdot b) = \log(a) + \log(b)$$ $$\log(\frac{a}{b}) = \log(a) - \log(b)$$ und jetzt \(a\) und \(b\) durch \(1\) und \(x\) ersetzen: $$\log(\frac{1}{x}) = \log(1) - \log(x) = -\log(x)$$ ... da \(\log(1)=0\) ist,

Answer 2

hier gibt es ein allg. Gesetz:

z,B als ln geschrieben, aber auch für anderen Log. gültig:

ln( a/b) = ln(a) -ln(b)

ln(1/x) = ln(1) -ln(x)

ln(1)=0

->ln(1/x) =  -ln(x)

Answer 3

log(1/x) = log(x^-1)                 =            -1·log(x) = -log(x)

Definition negativer Exponenten; Regel der Logarithmenrechnung.

Answer 4

Warum kann man log(1/x) auch als -log(x) schreiben?

Weil der Logarithmusfunktion die Umkehrfunktion zur Expoenentialfunktion ist.

Nun gilt für die Exponentialfunktion

$$ exp(x)^{-1}=exp(-x) $$

was man auch als ein Potenzgesetz bezeichnet.

Also Potenz von außen geht als Faktor rein. Nun kann gezeigt werden:

beim Log ist es genau andersherum, Potenz von innen geht als Faktor raus.