Bestimmen sie eine ganzrationale Funktion 3. Grades

Question

Ich habe ein Problem mit dieser Aufgabe, ich habe mit dem GTR zwar Werte für a,b,c und d herausbekommen, doch hat die Funktion auf der y-Achse keinen Tiefpunkt, sondern einen Hochpunkt. Die Punkte liegen jedoch alle auf dem Graphen. Die Aufgabe lautet:

Bestimmen Sie eine ganzrationale Funktion 3. Grades, deren Graph durch A(2/0), B(-2/4),C(-4/8) geht und einen Tiefpunkt auf der y-Achse hat.

Dann habe ich das LGS aufgestellt:

8a+4b+2c+d = 0

-8a+4b-2c+d = 0

-64a+16b-4c+d = 0

                  c = 0

daraus ergibt sich die Funktion f(x)= -0,25x^3-(5/6)x^2+(16/3)

Wie schaffe ich es nun, dass der Tiefpunkt auf der y-Achse liegt, ohne dass dadurch die Punkte nicht mehr auf dem Graphen liegen?

Danke schon einmal im Voraus

Answer 1

Wie schaffe ich es nun, dass der Tiefpunkt auf der y-Achse liegt, ohne dass dadurch die Punkte nicht mehr auf dem Graphen liegen?

Überhaupt nicht, weil es eine Funktion durch die gegebenen Punkte mit einem Tiefpunkt auf der y-Achse nicht gibt.

Mit c = 0  ist das richtige Gleichungssystem  (hast du wohl auch eingegeben):

8·a + 4·b + d = 0

- 8·a + 4·b + d = 4

- 64·a + 16·b + d = 8  

→  a = - 1/4 ,  b = - 5/6  ,  d = 16/3

→  f(x) = -1/4 x³ - 5/6 x + 16/3

und da liegt nun einmal der Hochpunkt auf der y-Achse.

c = 0  ergibt sich aus der Bedingung  f '(0) = 0.

Das heißt aber nur, dass der Graph bei x=0 eine waagrechte Tangente hat.

Das gilt aber sowohl für Hoch- als auch für Tiefpunkte (und für Sattelpunkte!).

Dein GTR weiß also nicht einmal, dass du einen Tiefpunkt auf der y-Achse suchst :-)

Gruß Wolfgang

Answer 2

Gehe ganz nach Scheam F vor
Punkte
A(2/0), B(-2/4),C(-4/8)
Die Aussagen in der Kurznotation
f ( 2 ) = 0
f (-2) = 4
f ( -4 ) = 8
f '  ( 0 ) = 0 ( Stelle mit waagerechter Tangente )

Lineares Gleichungssystem aufgestellt
8a + 4b + 2c + d = 0
-8a + 4b - 2c + d = 4
-64a + 16b - 4c + d = 8
c = 0

Lineares Gleichungssystem gelöst
f ( x ) = -1/4·x^3 - 5/6·x^2 + 16/3

Comments

Der Punkt auf der y-Achse ist allerdings ein Hochpunkt

Fehler im Buch ?

Im Internet zur Lösung von Steckbriefaufgaben
Du  gehst nach
http://www.arndt-bruenner.de/mathe/scripts/steckbrief.htm

und gibst im Feld
" Eigenschaften eingeben "

f ( 2 ) = 0
f (-2) = 4
f ( -4 ) = 8
f '  ( 0 ) = 0


ein ( Die 4 obigen Zeilen kopieren und dort einfügen )

und drückst die Schaltfläche " berechnen ".
Dann wird dir die Funktion berechnet.

Bei den Ableitungen mußt du das Zeichen "  '  "
auf der Taste rechts neben dem " Ä " verwenden. " f ' "