Parabel mit der Gleichung y=x²+px+q hat den Scheitelpunkt S(2/-1,5). Bestimme die Werte p und q

Question

eine parabel mit der gleichung y=x²+px+q hat den scheitelpunkt S(2/-1,5) bestimme die werte p und q.

kann mir jemand erklären wie man das rechnet? ich bin volkommen überfordert.

danke :)

Answer 1

Eine Parabel mit der Gleichung \(y=x²+px+q\) hat den Scheitelpunkt S\((2|-1,5)\) bestimme die Werte p und q.

\(y=x^2+px+q |-q\)

\(y-q=x^2+px\) quadratische Ergänzung:

\(y-q+(\frac{p}{2})^2=x²+px+(\frac{p}{2})^2\)     1.Binom:

\(y-q+(\frac{p}{2})^2=(x+\frac{p}{2})^2\)

\(y=(x+\frac{p}{2})^2+q-(\frac{p}{2})^2\)

S\((2|-1,5)\)

1.)

\(\frac{p}{2}=-2\)

\(p=-4\)

2.)

\(q-(\frac{p}{2})^2=-1,5\)

\(q-(\frac{-4}{2})^2=-1,5\)

\(q=2,5\)

\(y=x^2-4x+2,5 \)

Answer 2

Nun, nimm die Scheitelpunktform

f ( x ) = ( x - xs ) ² + ys , setze die gegebenen Werte ein ( xs = 2, ys = -1,5 ) und multipliziere den Term aus.

Du erhältst einen Term der Form x ² + p x + q und kannst daraus die Werte für p und q ablesen.

Beispiel (andere Werte):

xs = 5, ys = -1

Scheitelpunktform:

f ( x ) = ( x - 5 ) ² + ( - 1 )

= x ² - 10 x + 25 - 1

= x ² - 10 x + 24

Also: p = - 10 , q = 24

 

Zur Kontrolle:

Für deine Aufgabe ergibt sich: p = - 4 , q = 2,5

Answer 3

Eine Parabel mit der Gleichung \(y=x^2+px+q\) hat den Scheitel \(S\left(2\vert-1.5\right)\).

Wir verschieben die Parabel so, dass der neue Scheitel im Ursprung liegt: $$y=\left(x+2\right)^2+p\cdot\left(x+2\right)+\left(q+1.5\right)$$Diese neue Parabelgleichung hat die Polynomform: $$y=x^2+\left(4+p\right)\cdot x + \left(5.5+2p+q\right)$$ Da der neue Scheitel ja nun der Ursprung ist, muss für die beiden neuen Koeffizienten \(p'=q'=0\) gelten. Daraus folgt zunächst durch Ablesen \(p=-4\) und dann \(q=2.5\) durch Einsetzen und Ablesen.

(Noch kürzer geht es mithilfe der pq-Formel...)

Answer 4

Oder man weiß allgemein \(S(-\frac{p}{2} | q - \frac{p^2}{4}) \).

Dann gilt \( 2=- \frac{p}{2} \), also \( p=-4 \).

Und weiter \( q- \frac{(-4)^2}{4}=-1,5 \), also \( q=-1,5+4=2,5 \).