Analysis-Aufgabe mit 2 Parabeln lösen

Question

Bei folgender Aufgabe komme ich nicht weiter:

Parabel 3.Ordnung schneidet die Parabel: y= (x-2)² bei x=0 und berührt sie bei x=2. Beide Parabeln schliessen im 1. Quadranten eine Fläche vom Inhalt A=4 ein.

Die Gleichung der Parabel 3.Ordnung bestimmen.

Könnt ihr mir helfen? Danke euch!

Answer 1

Die Parabel mit der Gleichung y=(x-2)² hat die Punkte A(0|4) und B(2|0) mit der Parabel 3.Ordnung gemeinsam. Außerdem hat die Parabel 3.Ordnung in (2|0) dieselbe Steigung, wie die Parabel mit der Gleichung y=(x-2)², nämlich 0.

Ansatz für die Parabel 3.Ordnung:f(x)=ax³+bx²+cx+d. Wegen A ist d=4. Wegen B gilt (1) 0=8a+4b+2c++4. f '(x)=3ax²+2bx+c. Weil die Steigung an der Stelle x=2 Null sein soll, gilt (2) 0=12a+4b+c. Die gegebene Fläche 4 reicht von x=0 bis zur Nullstelle x=4. Also ₀∫⁴((x-2)²-f(x))dx=4.

Comments

Morgen Roland,

Fehler ?

Beide Parabeln schliessen im 1. Quadranten eine
Fläche vom Inhalt A=4 ein.

Hier dürfte die Differenzfunktion der beiden Parabeln
zwischen x=0 und x=2 gefragt sein

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Morgen Georg,

vermutlich hast du recht. Ich habe das in meiner Antwort geändert.

Answer 2

Parabel 3.Ordnung schneidet die Parabel: y= (x-2)^2 bei x=0 und berührt sie bei x=2. Beide Parabeln schliessen im 1. Quadranten eine Fläche vom Inhalt A=4 ein.
Aussagen
g ( x ) = ( x-2)^ 2
g ( 0 ) = 4
g ( 2 ) = 0
g ´( x ) = 2 *x - 4
g ´( 2 ) = 0

f ( x ) = a * x^3 + b * x^2 + c * x + d
f ( 0 ) = g ( 0 ) = 4  => d = 4
f ( x ) = a * x^3 + b * x^2 + c * x + 4
f ´( x ) = 3a * x^2 + 2b * x + c

f ( 2 ) = a * 2 ^3 + b *  2 ^2 + c * 2 + 4 = 0
f ´( 2 ) = 3a * 2 ^2 + 2b * 2 + c = 0

8a + 4b + 2c + 4 = 0
12a + 4b + c = 0

Fläche
Differenzfunktion
d ( x ) = f ( x ) - g ( x )
d ( x ) = a * x^3 + b * x^2 + c * x + 4 - ( x-2)^ 2

d ( x ) = a * x^3 + b * x^2 + c * x + 4 - ( x^2 - 4x + 2)
d ( x ) = a * x^3 + b * x^2 + c * x + 4 - x^2 + 4x - 2
d ( x ) = a * x^3 + b * x^2 + c * x + 2 - x^2 + 4x

Stammfunktion
S ( x ) = a/4 * x^4 + b/3 * x^3 + c/2 * x^2 + 2x - x^3/3 + 2x^2

[ S ( x ) ] zwischen 0 und 2 = 4
a/4 * 2 ^4 + b/3 * 2 ^3 + c/2 * 2^2 + 2*2 - 2 ^3/3 + 2 * 2^2 = 4

Lineares Gleichungssystem
8a + 4b + 2c + 4 = 0
12a + 4b + c = 0
2a + 8/3 * b + 2c + 4 - 8/3 + 8 = 4

Irgendwo steckt noch ein Fehler.
a ergibt sich zu 0. Falsch.
Das Grundgerüst des Lösungswegs müßte aber
stimmen.
Bitte nachrechnen.

Comments

Hier die Korrektur
d ( x ) = a * x^3 + b * x^2 + c * x + 4 - ( x^2 - 4x + 4)
d ( x ) = a * x^3 + b * x^2 + c * x + 4 - x^2 + 4x - 4
d ( x ) = a * x^3 + b * x^2 + c * x - x^2 + 4x

Stammfunktion
S ( x ) = a/4 * x^4 + b/3 * x^3 + c/2 * x^2 - x^3/3 + 2x^2

[ S ( x ) ] zwischen 0 und 2 = 4
a/4 * 2 ^4 + b/3 * 2 ^3 + c/2 * 2^2  - 2 ^3/3 + 2 * 2^2 = 4

Lineares Gleichungssystem
8a + 4b + 2c + 4 = 0
12a + 4b + c = 0
2a + 8/3 * b + 2c - 8/3 + 8 = 4

f = -6*x^3 + 25*x^2 -28*x + 4

Bitte nachrechnen.
Die Lösung wurde graphisch überprüft.

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Damit stimmt die Einschlussfläche nicht.

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Hier noch eine Skizze.
Es gibt offensichtlich noch eine weitere Lösung

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Die von Grün und Rot eingeschlossene Fläche hat den Inhalt 8 FE, die Einschlussfläche von Rot und Blau liegt nicht im ersten Quadranten.

Answer 3

Mit dem Ansatz

$$ a \cdot \int_0^2{x\cdot \left(x-2\right)^2\text{ d}x} = 4 \quad\Leftrightarrow\quad a=\:? $$ergibt sich

$$ y = a \cdot x \cdot \left(x-2\right)^2 + \left(x-2\right)^2 \\ \phantom{y} = \left(a \cdot x + 1\right) \cdot \left(x-2\right)^2 $$als mögliche Lösung für die gesuchte kubische Parabelfunktion. In dem Ansatz habe ich Eigenschaften der Differenzfunktion ausgenutzt.

Es fehlt noch eine Begründung dafür, dass dies die einzige Lösung ist.

Comments

So, aus dem Ansatz oben folgt \(a=3\) und damit ergibt sich sofort

$$y = 3 \cdot x \cdot \left(x-2\right)^2 + \left(x-2\right)^2 \\ \phantom{y} = \left(3 \cdot x + 1\right) \cdot \left(x-2\right)^2 \\ \phantom{y} = 3x^3-11x^2+8x+4$$als die gesuchte Funktion.

Die geforderten Eigenschaften lassen sich entweder unmittelbar der Differenzfunktion \(y = 3 \cdot x \cdot \left(x-2\right)^2\) entnehmen oder leicht nachrechnen.

Im Plot zeigt sich die Situation so:

~plot~ (3*x+1)*(x-2)^2;(x-2)^2;[[0|8|0|6]] ~plot~

Die gesuchte kubische Randfunktion (blau) muss, wie im Ansatz bereits berücksichtigt, oberhalb der quadratischen Randfunktion (rot) liegen, da unterhalb der roten Kurve im ersten Quadranten nur weniger als 4 Flächeneinheiten zur Verfügung stehen. Damit ist die Lösung auch eindeutig.