Funktion einer Veränderlichen f:R/{1 } -> R mit f(x)=1/x-1 auf Injektivität und Surjektivität untersuchen

Question

Untersuchen Sie die Funktion f:R/{1 } -> R mit f(x)=1/x-1 auf Injektivität und Surjektivität und geben, falls möglich, die Umkehrfunktion an.

Answer 1

y = 1 / (x - 1)

1 / y = x - 1

1 / y + 1 = x

x = 1 / y + 1

Was bedeutet injektiv und was denkst du: Ist diese Funktion injektiv?

Was bedeutet surjektiv und was denkst du: Ist diese Funktion surjektiv?

Answer 2

Hallo,

Lu hat ja bereits die mangelhafte Schreibweise bemängelt.
Es soll sicher \(x\mapsto\frac{1}{x-1}\) heißen.
\(f\) ist nicht Surjektiv, da \(0\) nicht als Bild dargestellt werden kann:
ein Bruch ist nur Null, wenn der Zähler Null ist.

Zur Injektivität:

Sei \(f(x_1)=f(x_2)\), also \(\frac{1}{x_1-1}=\frac{1}{x_2-1}\).
Multiplikation mit \((x_1-1)(x_2-1)\) liefert \(x_1-1=x_2-1\), also \(x_1=x_2\).
\(f\) ist also injektiv.

Gruß ermanus