Injektivität/Surjektivität bei Funktionen von zwei Veränderlichen

Question

Habe schon reichlich dazu gegoogelt, leider finde ich nichts für mich passendes.

Folgende Aufgabe:

f: Z² -> Z²

f((x,y)) = (x, x+y)

Wie weise ich hier Injektivität nach?

Normalerweise beweist man ja, f(x₁) = f(x₂) ⇒ x₁=x₂.

Wie geht dies hier?

Mein Ansatz:

(x₁, x₁+y₁) = (x₂, x₂+y₂)

Aber wie löse ich dies nun auf?

Answer 1

(x1, x1+y1) = (x2, x2+y2) ist doch prima

==>  x1 = x2 und x1+y1 = x2+y2

(Denn Paare sind nur gleich, wenn sie in beiden

Komponenten übereinstimmen)

und wenn man die 1. Gleichung bei der 2. einsetzt

                         x1 + y1 = x1 + y2

 ==>                          y1 = y2

Also gilt   x1 = x2 und y1 = y2  und damit gilt

           (x1;x2) = (y1;y2)

also f Injektiv.

Comments

Danke für deine schnelle Antwort!

Was du "handwerklich" machst ist mir soweit klar.

Habe jedoch noch nicht verstanden, warum du die 1. Gleichung einfach in die 2. einsetzen darfst.

Edit: Achso, du hast einfach erstmal ANGENOMMEN, dass x1=x2 gilt?

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Nein, weil (x1, x1+y1) = (x2, x2+y2)

WEISS man, dass x1 = x2 sein muss.

(Gleichheit von Paaren !)

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Ah, jetzt hab ich's verstanden, dankeschön!

Du hattest es oben ja auch schonmal explizit geschrieben.

Nächste Frage: Wie kann man dort denn surjektivität zeigen oder widerlegen?

Mein Ansatz:

(n,m) = (x,x+y)

Wir wissen wieder: n=x, also bleibt m = x+y?

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Du musst zeigen:

zu jedem (n,m) gibt es (x,y) mit

(n,m) = f (x,y)  =  (x,x+y)

wie vorhin kann man denn sagen, es muss also gelten

n=x und m=x+y also y = m-x = m-n .

Also hast du: zu jedem Paar (n,m)

gilt f( n, m-n) = ( n,m).

Und da es für alle n,m auch ein m-n gibt,

ist damit die Surjektivität gezeigt.

(Das letzte ist wesentlich ; denn wäre etwa y = m:n

herausgekommen, so würde das ja nicht gelten, da

es für n=o kein  m:n gibt.

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Super, dann war mein Ansatz ja richtig. Danke dir!

Verständnisfrage:

f: R\0 -> R x R

f(x,y) = (x*y, x/y)

Surjektivität:

x = xy

x= x/y

y=x/y

y²=x

y=Wurzel-x

? Kommt mir sehr komisch vor, wäre dann aber surjektiv?

Denn beide Werte lassen sich in R ja darstellen.

Müsste auch injektiv sein?

x1y1 = x2y2

x1/y1 = x2/y2

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f: R\0 -> R x R

f(x,y) = (x*y, x/y)

So ist keine Abbildung definiert; denn der

Definitionsbereich ist ja R\0 , du hast also

nur ein x kein y ???

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'tschuldigung, Tippfehler!

f: R x R\0 -> R x R

Ergibt sorum auch Sinn, denn durch Null dividieren ist ja keine gute Idee ;)

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Ist nicht surjektiv. Versuche mal x, y so

zu wählen, dass ( 1 ; -1 ) als Ergebnis rauskommt !

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Das mache ich direkt!

Frage: Was ist an meinem Rechnenweg zu "ist surjektiv" dann falsch? Es sollte mir ja dort schon aufgefallen sein.

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Dass man aus negativen Zahlen

keine reelle Wurzel ziehen kann !

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Also nun hab ich mich irgendwo verhaspelt.

Passt denn mein Ansatz für die Injektivität?

Nochmal zu surjektiv:

n = x*y | :y

ny=x, somit gibt's schonmal den x-Wert.

n = x/y | *y

ny = x

Passt doch? Irgendwas muss falsch sein...

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Nochmal zu surjektiv:

n = x*y | :y

ny=x, somit gibt's schonmal den x-Wert.

NUR, WENN y≠0.

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Ah, ja das ist natürlich logisch! War aber davon ausgegangen, dass müsse ohnehin immer gelten? Denn lt. Definitionsbereich ist die 0 ja für y gar nicht möglich?

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Ist mein Ansatz ansonsten denn soweit korrekt?

Habe die Aufgabe noch nicht für mich zufriedenstellend gelöst.