Question

Kann mir jemand erklären wie man zur Lösung der Bruchgleichung: I:2/ (y-2)+9/ (x-1)= 4/ (2-y) und II: 2x/ (x+3) - 2y/ (y-1)= -20/ (xy-x+3y-3) kommt. Danke für jede Hilfe

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Bist du sicher, dass die Gleichung stimmt?

Mein Rechner gibt an:

(y - 2) + 9/(x - 1) = 4/(2 - y)  und   2·x/(x + 3) - 2·y/(y - 1) = - 20/(x·y - x + 3·y - 3)

      x = ³√(3·√1137/2 - 101/2)  - ³√(3·√1137/2 + 101/2) + 3

      y = - ³√(√1137/18 - 101/54) + ³√(√1137/18 + 101/54) + 7/3

x ≈ -1.228877606   ∧   y ≈ 3.742959202

Das wäre typisch, wenn man am Ende eine Polynomgleichung 3.Grades für x mit den Cardanischen Formeln löst.

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Mein Rechner gibt an:
Kauf dir einen neuen.

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Mein Programm ist tatsächlich sehr alt, aber i.A. für meine Zwecke sehr gut brauchbar.

Zwei komplexe Lösungen (x|y) gibt es natürlich auch noch an.

Oder hast du etwas anderes gemeint?

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Selbstverständlich ist (-2 | 4) ∈ ℂ^2
Oder hast du etwas anderes gemeint?

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nein die Gleichung heisst

I:  2/ (y-2)+9/ (x-1)= 4/ (2-y)

II: 2x/ (x+3) - 2y/ (y-1)= -20/ (xy-x+3y-3)

Die Lösung sollte heissen (x/y)=( -2/4). Mein Problem aber ist, dass ich nicht weiss wie man auf die Lösung kommt. Es ist eine Bruchgleichung die zu einer linearen Gleichungssystem führt. Es wäre mir eine mega Hilfe, wenn mir das jemand erklären würde

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Mein Programm ist hiermit entlastet:

2 / (y - 2) + 9/(x - 1) = 4/(2 - y)  und  2·x/(x + 3) - 2·y/(y - 1) = - 20/(x·y - x + 3·y - 3)

Mein Cut&Paste war leider falsch.

Die Lösung ist also (-2|4)

und mein Eingangskommentar hat sich erledigt.

Wenn sich vorher niemand findet, schaue ich später noch nach dem Lösungsweg.

Answer 1

Löse die erste Gleichung nach x auf. das ergibt x=4,5y-8 und setze dies in die zweite Gleichung ein. Dann kann man das Resultat nach y auflösen, was allerdings ein gewaltiger Aufwand werden könnte.

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was allerdings ein gewaltiger Aufwand  ...
Dann mach es anders.

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Danke für deine Hilfe. :)

Answer 2

Hallo Laura,

G2

2x/ (x+3) - 2y/ (y-1)= -20/ (xy-x+3y-3)

xy-x+3y-3 = x * (y-1) + 3 * (y-1) = (x+3) * (y+1)

Jetzt kannst du auf der linken Seite den 1. Bruch mit y-1 und den 2. Bruch mit x+3 erweitern und hast alle Brüche auf dem Hautnenner (x+3) * (y+1)

2x * (y-1) - 2y * (x+3) = -20  kann man leicht nach x auflösen und erhält   x = 10 - 3·y  

G1:   2/ (y-2)+9/ (x-1)= 4/ (2-y)

x in G1:

2/ (y-2)+9/ (10-3y-1)= 4/ (2-y)

2/ (y-2)+9/ (9-3y)= 4/ (2-y)

2/ (y-2)+ 3/(3-y)= -4 / (y-2)

auf den Hautnenner (y-2)*(3-y) bringen und mit dem HN multipizieren ergibt

2*(3-y) + 3*(y-2) = - 4*(3-y)  →   y = 4   und damit  x = -2

L = { (-2 | 4) }

Gruß Wolfgang

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danke, danke viel viel mal:)

Answer 3

  Mal gänzlich abgesehen davon, dass ich bei Wolfram gespickt habe. Sämtliche bisherigen Antworten verlieren den Überblick; von Vorn herein ist doch klar, dass du auf ein LGS geführt wirst.  Ich fasse erst mal zusammen

     9 / (  x  -  1  )  +  6 / (  y  -  2  )  =  0   |  :  ggt  =  3     (  1a  )

     Abermals freundlicher Hinweis; was als Erstes zu geschehen hat: Kürzen durch den ggt;  ===>  primitive Form

      3 / (  x  -  1  )  +  2 / (  y  -  2  )  =  0   |  *  HN      (  1b  )

    3  (  y  -  2  )  +  2  (  x  -  1  )  =  0      (  1c  )

     2  x  +  3  y  =  8    (  1d  )

      Wie aus Wolframs Plot ersichtlich, handelt es sich bereits bei ( 1a )  um eine Geradengleichung;  die Unsteiigkeit bei x0 = 1 ist hebbar mit y0 = 2 , wie man sofort erkennt - in Übereinstimmung mit ( 1d )  Deine zweite Gleichung muss wieder gekürzt werden

  x / (  x  +  3  )  -  y  / (  y  -  1  )  +  10 / (  x  +  3  )  (  y  -  1  )  =  0      (  2  )

    Ich werde ja hier dauernd geschmäht für meine Schmuddeltricks.  Aber warum soll ich nicht sehen, dass der Aufgabenstellerich es gut mit uns meint? Du musst einfach probieren, ob der dritte Term faktorisiert und damit der  HN  der ersten beiden Terme schon der HN der ganzen Gleichung ist.

   Und jetzt hätte ich eine besondere Bitte; ich freu mich ja, dass ihr alle fit in  Polynomdivision seid.  Aber ihr missbraucht sie für die abwegigsten Zwecke, wo ich längst ohne auskomme.  Aber ausgerechnet hier werde ich euch zeigen, wie ungeschickt es ist,  unecht gebrochene Funktionen überleben zu lassen.

   x : ( x + 3 ) = ( x + 3 ) : ( x + 3 ) - 3 : ( x + 3 ) =     (  3a  )

                     =  1  -  3 /  (  x  +  3  )    (  3b  )

    y  :  (  y  -  1  )  =  1  +  1 / ( y  -  1  )     (  3c  )

   Die ganz rationalen Komponenten kürzen sich jetzt schon weg.  Mit denen hätten wir uns  nämlich nachher beim Ausklammern geschleppt -  das hätte uns auf Kreuzterme der Form  "  x y  "  geführt, die sich per Saldo doch wieder weg heben.

     3 / ( x  +  3  )  +  1 / (  y  -  1  )  -  10 / (  x  +  3  )  (  y  -  1  )  =  0        |  *  HN      (  4a  )

     3  (  y  -  1  )  +  x  +  3  =  10     (  4b  )

     x  +  3  y  =  10        (  4c  )

   Subtraktionsverfahren    ( 1d ) - ( 4c )   ===>  x  =  (  -  2  )  ===>  y  =  4