Allgemeine Fragen zu Trassierungsaufgaben

Question

Hallo

Ich heatte ein paar allgemeine Fragen zu Trassierungsaufgaben da ich Vorarbeite und sicher gehen möchte.

Gegeben sind 2 Lineare Gleichungen(LG):

g1(x)= 1/2x                g2(x)= -1/2x

Gesucht ist nun eine Funktion die bei x=2 und x=-2 in den beiden LG Knick und Krümmungsfrei mündet.

Bedingungen der gesuchten Funktion V(x) sind

1.  V(2)=1       (Sprungfrei)

2.  V(-2)=1      (Sprungfrei)

3.  V´(2)=0,5   (Knickfrei)

4.  V´(-2)=-0,5 (Knickfrei)

5.  V´´(2)=0      (Krümmungsfrei)

6.  V´´(-2)=0     (Krümmungsfrei)

Ist dies so richtig ? Sprich V(2) für Sprungfrei erste Ableitung für Knickfrei zweite ABleitung für Krümmungsfrei ? Ist dies IMMER so ?

Die gesuchte Funktion ist 4 Grades . Da diese beiden LG Achsensymmetrisch sind brauch ich nur 3 Bedingungen.

Ich entschied mich jeweils für (1;3;5).

Frage wäre nun ob es egal wäre welche Bedingungen ich nehme so lange ich eine Bedingung aus dem erforderlichen Berech nehme wie Krümmungsfrei und Knickfrei ? Sprich ob ich auch (3;4;6) heatte nehmen koennen ? Oder ist es notwenig eine aus dem Bereich Srungfrei zu nehmen ? Sprungfrei wird meistens nicht erwähnt da dies sowieso als Selbstverstaendlich angenommen wird.

Bei manchen Aufgaben sind 6 Bedingungen erforderlich da ist klar alle zu nehmen und keine auszulassen

Nächste Frage ist ob ich anhand zwei Funktion die gegeben sind  den Grad der gesuchten Funktion schon wissen kann ?

In dem ersten Beispiel konnte ich 6 Bedingungen aufstellen bei einer anderen Aufgabe war die gesuchte Funktion 5Grades und nicht symmetrisch wo ich alle 6 Bedingungen benutzen musste

(   f(x)= x^3+x^2-2x         h(x)=x^2-2x+2     Gesuchte Funktion 5 Grades ).

Das eine Funktion 5 Grades gesucht ist war gegeben aber heatte ich anhand der 2 gegebenen Gleichung selber darauf kommen koennen oder " MUSS " die Information gegeben werden ?

Wenn ich selber drauf kommen koennte was muesste ich machen um dies herauszubekommen ?

Ich frag mich auch warum bei dem ersten Beispiel eine Funktion 4 Grades gesucht ist wenn die gesuchte Funktion doch wie eine quadratische aussieht im bereich von x=-2  bis x=2. Warum also keine quadratische ?

Ich habe beide Aufgaben gerechnet und sind auch richtig. Aber diese Fragen stelle ich mir bis jetzt

Ich bedanke mich für jeden der bis hierhin gelesen hat und für jede kommende Antwort

Ich hoffe die Fragen sind Versteandlich und dass nicht alles zu unuebersichtlich ist

Gruß Oliver

Answer 1

Hallo Oliver,

Ist dies so richtig ? Sprich V(2) für Sprungfrei erste Ableitung für Knickfrei zweite ABleitung für Krümmungsfrei ? Ist dies IMMER so ?

Ja - fast immer. Die Krümmungsfreiheit sollte besser durch krümmungsruckfrei ersetzt werden, da aber eine Gerade keine Krümmung, bzw. die Krümmung 0, hat, ist die Forderung nach Krümmungsfreiheit in diesem Fall identisch mit der Forderung nach Krümmungsruckfreiheit bzw. identischer Krümmung zur Anschlussfunktion - hier der Gerade.

Frage wäre nun ob es egal wäre welche Bedingungen ich nehme so lange ich eine Bedingung aus dem erforderlichen Bereich nehme wie Krümmungsfrei und Knickfrei ? Sprich ob ich auch (3;4;6) hätte nehmen können ?

Mit der Annahme, dass \(f(x)\) symmetrisch zur Y-Achse ist - also \(f(x)=f(-x)\) - legst Du bereits fest, dass \(V(-2)=1\) sein muss, wenn \(V(2)=1\) ist. Du darfst also aus den Bedingungen 1.) und 2.) nur eine der beiden Bedingungen nehmen. Das gleiche gilt für das Paar 3.) und 4.) und das Paar 5.) und 6.). Wählst Du also 3.), 4.) und 6.), so fehlt Dir einen Bedingung, da 3.) und 4.) bereite dasselbe aussagen.

Nächste Frage ist ob ich anhand zwei Funktion die gegeben sind  den Grad der gesuchten Funktion schon wissen kann ? 

Ja - die Ordnung steht mit der Anzahl der Bedingungen fest. Du wählst die Ordnung des gesuchten Polynom, die mindestens(!) benötigt wird, um alle(!) Bedingungen zu erfüllen. Das ist immer \((k-1)\), wenn \(k\) die Anzahl der Bedingungen ist. Vorausgesetzt, die \(k\) Bedingungen sind unabhängig von einander und sind wirklich nur einzelne Bedingungen. Eine Forderung wie "die Funktion muss durch Punkt \(P\) verlaufen" ist eine einzelne Bedingung, aber eine Forderung "die Funktion ist symmetrisch" verdoppelt ggf. die Ordnung!

Ich frag mich auch warum bei dem ersten Beispiel eine Funktion 4 Grades gesucht ist wenn die gesuchte Funktion doch wie eine quadratische aussieht im bereich von x=-2  bis x=2. Warum also keine quadratische ?

Weil eine quadratische Funktion die Forderung nach Krümmungsruckfreiheit in den Anschlussstellen zu den Geraden nicht erfüllen würde.

Gruß Werner

Comments

Hallo Werner-Salomon

Vorab danke ich dir für deine Antworten.

Verstehe leider die Antworten nicht so ganz !

Krümmungsfreiheit und Krümmungsruckfrei ist nicht das selbe ?

2 Antwort

Also wenn es nicht Achsensymmetrisch ist so koennte ich 2 Bedinungen aus dem selben Bereich wählen sprich Sprung Knick oder Krümmungsfrei ? Also wenn ich zum Beispiel von einer Funktion V´(2)=6 und V´(-2)=4 habe koennte ich beide verwenden da nach dem Gleichheitszeichen unterschiedliche Ergebnisse kommen ?

(Komplett ausgedachte Werte )

3 Antwort

Entschuldigung aber diese Antwort sagt mir nichts . Ich weiß nicht was mit Ordnung gemeint ist.

In dem ersten Beispiel hatte ich ja 6 Bedingungen. Jedoch waren nur 4 davon unabhaengig richtig ? 

(2.  V(-2)=1      (Sprungfrei)

3.  V´(2)=0,5  (Knickfrei)

4.  V´(-2)=-0,5 (Knickfrei)

5.  V´´(2)=0      (Krümmungsfrei)

Also wäre k nun 4  k-1 = 3

Also würde ich nun denken dass eine Funktion 3 Grades gesucht ist !

Ich entschuldige mich für meine schlechten Kenntnisse ! Ich habe es nicht mit den " Fachbegriffen " so richtig drauf ! Villeicht koenntest du es mit anderen Worten umschreiben

4 Antwort

Ich weiß dass du recht hast jedoch verstehe ich es noch nicht ganz . Also ich stelle mir halt vor wenn bei einer quadratischen Funktion der erste Parameter ? Also wenn vor dem x^2 ein relativ kleine Zahl steht so wird diese Funktion ja auch breiter (gestreckt ). Ich mein es sieht halt 1 zu 1 aus wie eine quadratische Funktion !

Gruß Oliver

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Hallo Oliver,

Krümmungsfreiheit und Krümmungsruckfrei ist nicht das selbe ? 

Nein! Krümmungsfrei heißt die Krümmung ist =0. Krümmungsruckfrei heißt, dass an einer Stelle (z.B. da wo sich zwei Funktionen treffen) die Krümmung links und rechts von dieser Stelle gleich sind (also ruckfrei, bzw. stetig).

Also wenn es nicht Achsensymmetrisch ist so koennte ich 2 Bedinungen aus dem selben Bereich wählen sprich Sprung Knick oder Krümmungsfrei ? Also wenn ich zum Beispiel von einer Funktion V´(2)=6 und V´(-2)=4 habe koennte ich beide verwenden da nach dem Gleichheitszeichen unterschiedliche Ergebnisse kommen ?

Jein! also in diesem speziellen Fall 'ja'! Versuche es mal allgemeiner auszudrücken: Du darfst jede Bedingung nur genau einmal verwenden. Und die Aussage 'die Funktion ist symmetrisch zur Y-Achse' beinhaltet bereits die Aussage \(f(x)=f(-x)\) für alle \(x\). Gilt dann entsprechend für alle Ableitungen; z.B. \(f'(x)=-f(-x)\). Aus welchem 'Bereich' die Bedingung stammt (Krümmung, Steigung, usw.) spielt gar keine Rolle.

Ich weiß nicht was mit Ordnung gemeint ist.

Ordnung oder Grad eines Polynoms ist der Wert der höchsten Potenz. 'Grad' ist wohl geläufiger.

In dem ersten Beispiel hatte ich ja 6 Bedingungen. Jedoch waren nur 4 davon unabhängig richtig?

Nein - Du hast 6 Bedingungen und damit ist der Grad \(k\) (ich nannte es Ordnung) des Polynoms \(k=6-1=5\). Dass sich in diesem Fall aus den 6 Bedingungen drei symmetrische Paare bilden lassen, ist zunächst mal irrelevant. Es bleibt (zunächst) beim Grad 5.

Nur wegen dieser Symmetriebedingung werden alle Koeffizienten mit ungeraden Index (\(a_5\), \(a_3\) und \(a_1\)) zu 0! Und so reduziert sich der Grad von 5 auf 4, da auch \(a_5=0\) wird. Und es entfällt damit aus jeden Paar ein Partner, da diese Bedingung mit der Symmetrie ohnehin erfüllt ist. Es bleiben drei Bedingungen für die Berechnung der drei Koeffizienten \(a_4\), \(a_2\) und \(a_0\).

Also ich stelle mir halt vor wenn bei einer quadratischen Funktion der erste Parameter ? Also wenn vor dem x2 ein relativ kleine Zahl steht so wird diese Funktion ja auch breiter (gestreckt ). Ich mein es sieht halt 1 zu 1 aus wie eine quadratische Funktion!

Vielleicht hilft ein Bild:

~plot~ ((-x^2/128+3/16)x^2+3/8)*(x>-2)*(x<2)-(x<-2)x/2+(x>2)x/2;x^2/8+1/2;[[-3.5|3.5|-1|3]];{-2|1};{2|1} ~plot~

die blaue Kurve ist die gesuchte Trasse. Und die rote eine Parabel, die stetig an die beiden Geradenstücke anschließt. an den Anschlussstellen geht aber eine Kurve (der Parabel) ruckartig in eine Gerade über.

Gruß Werner

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Hallo Werner_Salomon

Ich denke ich habe es verstanden bis auf die letzte Frage ! Ich versteh den Part mit der quadratischen Funktion noch nicht ganz da ich welche " gefunden " habe die " fast " gleich sind und nur kleine abweichungen an den x-Werten   x=-2   -   x=2 haben. Aber ja ich muss es halt einfach akzeptieren :).

Ich bin dir auf jeden Fall sehr dankbar für deine Zeit und Geduld.

Du warst mir sehr behilflich.

Gruß Oliver

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Hallo Oliver,

es freut mich, dass ich Dir helfen konnte.

Ich versteh den Part mit der quadratischen Funktion noch nicht ganz, da ich welche " gefunden " habe die " fast " gleich sind

Stell sie doch mal hier ein, dann schauen wir mal.

Gruß Werner

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Dies waere einer meiner Beispiele. Fuer mich ist es einfach schwer zu glauben dass diese Funktion die Bedingungen nicht erfuellen wuerde ! Klar gibt es Abweichungen aber für mich sind die halt " fast " identisch

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Hallo Oliver,

ich habe die Parabel \(y=0,1625x^2 + 0,375\) mal gezeichnet (in blau)

Die schwarzen geraden Stücke links und rechts sich die geforderten Anschlussstraßen. Die gestrichelte Gerade zeigt die Steigung der Parabel im rechten Anschlusspunkt. Und der rote Kreis hat im Anschlusspunkt dieselbe Krümmung wie die blaue Parabel.

Stelle Dir mal vor, Du würdest mit dem Fahrrad diese Straße fahren - von links nach rechts. Du befindest Dich auf dem blauen Stück, gehst in die Kurve und am roten Punkt hast Du nicht nur eine schlagartige Richtungsänderung nach rechts, sondern musst auch aus der Kurve(schräg)lage in eine senkrechte Position.

Mit anderen Worten: das geht gar  nicht, jedenfalls nicht exakt. Ich mache das gleich nochmal mit der Parabel, die ich vorgeschlagen habe (s.o.)

Bis gleich Werner

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Das ganze noch mal für die Parabel \(y=0,125x^2 + 0,5\):

Diese Parabel passt zwar besser, aber trotzdem würde ein Fahrradfahrer im Anschlusspunkt das Problem haben, dass er sich gleichzeitig in die Kurve (rot) legen, aber auch gerade (also senkrecht) weiter fahren muss (das schwarze Stück). In einem Auto (was sich nicht in die Kurve legt!) müsste man ruckartig das Steuer verreißen und das würde zu einem unstetiger Änderung der seitlichen Beschleunigung - also zu einem Ruck führen. Bei dem Polynom 4.Ordnung passiert das eben nicht.

Gruß Werner

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Wow !!!

Mit solch einer guten Erklaerung habe ich nicht gerechnet.

Ist auf jeden Fall jetzt verstaendlich für mich geworden :)

Ich dank dir wirklich für den Aufwand mir dies ausfuerlich zu erklaren.

Wuensch dir ein schoenes Wochenende

Gruß Oliver

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Hallo Oli,
eine Parabel hat Ihrem gesamten Verlauf eine
Krümmung . Die Gerade die Krümmung null.
Ein krümmungsruckfreier Übergang ist daher
prinzipiell nicht möglich.

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Hallo georgborn

das ist natuerlich auch nicht schlecht zu wissen. Bildlich ist für mich kein unterschied zu sehen aber habe ein gutes Beispiel bekommen was es mich verstehen leasst.

Ich dank dir auch nochmals für deine Antworten.

Echt ein tolles Forum hier

Gruß Oliver

Answer 2

Welche Verbindungsstücke meinst du ?
( Die Skizze ist nur grob )

Comments

Die Obere

Die Funktion lautet :  V(x) -0,0078125x^4+0,1875x^2+0,375

Ist das denn wichtig ? Wäre für unten gesucht muesste ich doch nur das erste Vorzeichen aendern oder nicht ?

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f (2)=1     
f(-2)=1     
f ' (2)=0,5 
f ' (-2)=-0,5
f''(2)=0   
f''(-2)=0   

f ( x ) = -1/128*x^4 + 0.1875*x^2 + 0.375

Stimmt also mit deinem Ergebnis überein
Ermittelt mit einem Internetrechner.
Ich kann bei Bedarf die Vorgehensweise
mit dem Rechner angeben.
Das ist dann eine Sache von 1 Minute.

Wäre für unten gesucht muesste ich doch nur das erste Vorzeichen aendern oder nicht ?

Die untere Trasse ist eine Spiegelung der Funktion
an der x-Achse.
Einfach das Vorzeichen des Funktionswertes umkehren.

f ( x ) = minus  (-1/128*x^4 + 0.1875*x^2 + 0.375 )

Jetzt fehlt noch rechts und links ?

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Eine Möglichkeit die Funktion rechts/links zu
berechnen ist

Überlegung
Wäre x = 1 dann ist die obere Funktion
-1/64*x^4 + 0.375*x^2 + 0.75
Davon die Umkehrfunktion berechnen
Eine Bilck auf die Skizze zeigt das der Funktionswert
dieser Umkehrfunktion lediglich halbiert
werden muß.

Ein Einsetzen von x = 2 bestätigt
f ( 2 ) =1 , f ' ( 2 ) = 0.5, f '' ( 2 ) = 0

Ich bin noch ganz zufrieden mit der Herleitung
der Funktion für rechts und links.

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Hallo georgborn

Für die Seiten brauche ich keine Funktion ! Ich glaube dies waere auch gar nicht moeglich da man nur mit einer Funktion von den beiden vorgegebenen rechnen kann jedoch 2 braucht. Und wenn doch werden die Bedingungen nicht erfuellt  sprich Kruemm und Knickfrei.

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Die Funktion steht schon oben unter der
Skizze ( Farbe rot )

Die Funktion muß noch nach unten
gespiegelt werden. Funktionswert negativ
setzen.

Sowie die beiden Funktionen nach links spiegeln.