Induktionsbeweis. Summen von Kubikzahlen gibt Quadratzahlen fast fertig

Question

Ich habe einen Induktionsbeweis versucht, der jedoch nicht ganz fertig ist (glaube ich zumindest). Ich bin der Meinung dass ich noch A = B zeigen muss. Liege ich damit richtig? Wenn ja, wie zeige ich es? Ich komme nicht mehr weiter.

Comments

Bist du sicher, dass die Behauptung bei zz stimmt?

Sind Summen von Kubikzahlen immer Quadratzahlen?

1 = 1 = 1^2

1 + 8 = 9 = 3^3

1 + 8 + 27 = 36  = 6^2

1 + 8 + 27 + 64 = 100 = 10^2

Bis jetzt scheint es zu passen.

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auf das zz bin ich durch den Induktionsschritt gekommen. Ich sehe nicht wo hier der Fehler ist :(

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Ich sehe noch keinen Fehler. Du steckst gerade an einer dummen Stelle fest.

Versuche es mal von rechts nach links umzuformen.

Das Quadrat der Summe (rechts) musst du eigentlich mit der binomischen Formel ausrechnen. Du kannst dort aber auch die Summenformel für arithmetische Reihen benutzen.

Answer 1

Hallo Entschuldigen Sie,

bei dieser Aufgabe lohnt es sich zum Beispiel die Rechnung von der anderen Seite anzugehen:

$$\begin{aligned}\left( \sum _{ i=1 }^{ n+1 }{ i }  \right) ^{ 2 }&=\left( \sum _{ i=1 }^{ n }{ i } +(n+1) \right) ^{ 2 }\\&=\left( \sum _{ i=1 }^{ n }{ i }  \right) ^{ 2 }+2(n+1)\left( \sum _{ i=1 }^{ n }{ i }  \right) +{ (n+1) }^{ 2 }\\ \\&=\left( \sum _{ i=1 }^{ n }{ i }  \right) ^{ 2 }+\frac { 2(n+1)n(n+1) }{ 2 } +{ (n+1) }^{ 2 }\\&=\left( \sum _{ i=1 }^{ n }{ i }  \right) ^{ 2 }+n{ (n+1) }^{ 2 }+{ (n+1) }^{ 2 }\\ \\&=\left( \sum _{ i=1 }^{ n }{ i }  \right) ^{ 2 }+(n+1){ (n+1) }^{ 2 }\\&=\left( \sum _{ i=1 }^{ n }{ i }  \right) ^{ 2 }+{ (n+1) }^{ 3 }\end{aligned}$$

Comments

vielen Dank,

Ich habe jedoch leider nicht verstanden, wie du auf die dritte zeile gekommen bist. da den bruch habe ich nicht verstanden

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Das ist die Gaußsche Summenformel:

$$ \sum _{ i=1 }^{ n }{ i } =\frac { n(n+1) }{ 2 }  $$

Die solltest du dir auf jeden Fall merken ;)

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achso, gibt es mehrere solcher formeln die ich beherrschen sollte? wenn ja wo finde ich sie?

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gibt es mehrere solcher formeln die ich beherrschen sollte? 

Partialsummenformeln von arithmetische und geometrischen Reihen sollten man kennen.

wenn ja wo finde ich sie?

Wikipedia enthält diese.

Summenformel für Quadratzahlen und Kubikzahlen und dann vielleicht auch noch Summenformeln, die in der Vorlesung hergeleitet werden, z.B. eine Summe die eulersche Zahl ergibt.