Besonders stolz bin ich natürlich immer auf meine eigenen Entdeckungen. Die Antwort auf deine Frage stellt ein Kapitel ===> Galoisteorie dar. Anderen geht ( oder ging ) es darum, ob etwas mit Zirkel und Lineal konstruierbar ist. Meine Frage - die übrigens in der Literatur total stiefmütterlich behandelt wird - geht in folgende Richtung:
Angenommen du hast eine Linearkombination ( LK )
w0 := ß + µ * q ^ 1/2 ; ß ; µ ; q € |Q ( 1a )
Diesen Ausdruck w0 bezeichne ich als " verallgemeinerte Wurzel " Erinnert dich das nicht entfernt an die Mitternachtsformel ( MF ) ? Einen gewissen Wert lege ich darauf, dass q ^ 1/2 irrational, obwohl sich mein Verfahren auch sonst total gut schlägt.
Vom Strandpunkt der Algebra aus sind ja komplexe Zahlen mit nicht verschwindendem Imagteil eben Falls irrational ( Stimmt ja auch; sie sind keine rationalen Zahlen. ) Ich meine nur; ob q = 2 , q = 4 711 oder wie in deinem Falle q = ( - 1 ) kümmert mich bei meinem Algoritmus erst mal herzlich wenig.
Aus ( 1a ) hätte ich nun gerne die Wurzel x0 gezogen, eben die " Wurzelwurzel " ( W W ) wie ich es nenne. Sie soll aber wieder sein von der Form
x0 = ß1 + µ1 * q ^ 1/2 ( 1b )
w0 =: x0 ² ( 1c )
Allenfalls einen Vorfaktor muss ich spendieren, auf den ich jetzt nicht näher eingehen will. Bei komplexen Zahlen stellt sich das Problem unmittelbar, während man ja bei reellen Wurzeln schnell eben mal den Wurzelhaken drüber macht; wozu gibt es schließlich TR?
Ich arbeite immer gerne mit Symmetrien und führe daher die konjugierte Wurzel ein
w0 * := ß - µ * q ^ 1/2 ( 2a )
Im Falle q = ( - 1 ) entspricht dies auch der uns vertrauten komplex konjugierten; aber ich meine das jetzt viel allgemeiner analog " Plus / Minus Wurzel " , wie du das ja auch von der MF her kennst.
Jetzt zäume ich das Pferd vom Schwanz her auf; ich gehe nicht aus von einem Polynom, dessen Wurzeln ich suche, sondern ich suche diejenige quadratische Gleichung ( QG ) deren Wurzeln ( 1a;2a ) sind; Vieta das geschmähte Stiefkind
z ² - p z + q = 0 ( 2b )
p = w0 + w0 * = 2 Re ( w0 ) = ( - 3/2 ) ( 2c )
q = w0 w0 * = | w0 | ² = 25/16 ( 2d )
z ² + 3/2 z + 25/16 = 0 ( 3a )
Setze ich x0 direkt ein in ( 2b ) , bekomme ich entsprechend eine biquadratische Gleichung:
x ^ 4 - p x ² + q = 0 ( 3b )
Anschließend setze ich ( 1c ) ein in Vieta ( 2c )
p = x0 ² + x0 * ² = ( - 3/2 ) ( 3c )
Und jetzt die analoge Substitution in ( 2d )
u ² := q ===> u = x0 x0 * = 5/4 ( 3d )
Also eins ist logisch; will ich ( 3b ) lösen, muss ich zwei Mal die Wurzel ziehen. Das erste Mal ist dies bereits geschehen in ( 3d )
Und jetzt kommt der Casus cnactus; ( 3d ) ist die quadratische Ergänzung von ( 3c ) - siehst du das? Die rste MF , die direkt mit Vieta zusammen arbeitet.
( x0 + x0 * ) ² = p + 2 u = - 3/2 + 2 * 5/4 = 1 ( 4a )
x0 + x0 * = 1 = Realteil ( 4b )
( x0 - x0 * ) = p - 2 u = ( - 4 ) ( 4c )
x0 - x0 * = 2 i = Imagteil ( 4d )
Was zu lösen bleibt, ist das LGS ( 4bd )
x0 = 1/2 + i ( 5 ) ; Probe mit der 1. binomischen
Dem stelle ich gegenüber ein mehr konventionelles Verfahren, das allerdings auf komplexe Zahlen beschränkt bleibt, allerdings in der Literatur auch nicht zur Kenntnis genommen wird:
| w0 | = 5/4 ===> | x0 | = 1/2 sqr ( 5 ) ( 6 )
Wenn deine Ausgangszahl Phasenwinkel ß hat, so die Wurzel Winkel ß/2
exp ( i ß / 2 ) = [ cos ( ß/2 ) + i sin ( ß/2 ) ] ( 7a )
exp ( i ß ) = [ cos ( ß ) + i sin ( ß ) ] = ( 7b )
= [ cos ² ( ß/2 ) - sin ² ( ß/2 ) + 2 i sin ( ß/2 ) cos ( ß/2 ) ] ( 7c )
Koeffizientenvergleich zwischen ( 7b;c ) führt uns direkt auf die Additionsteoreme
cos ² ( ß/2 ) - sin ² ( ß/2 ) = cos ( ß ) = - 3/4 : 5/4 = ( - 3/5 ) ( 8a )
cos ² ( ß/2 ) + sin ² ( ß/2 ) = 1 ( 8b )
Abermals ist ( 8ab ) ein LGS; die Lösung ist immer die selbe
cos ² ( ß/2 ) = aritm. Mittelw. ( 1 ; - 3/5 ) = 1/5 ===> cos ( ß/2 ) = 1 / sqr ( 5 ) ( 9 )
und damit sin ( ß/2 ) = 2 / sqr ( 5 )
Der Nachteil ist offensichtlich; du schleppst dich mit einem irrationalen Betragsfaktor 5 ^ 1/2 , der bei den W W gar nicht vorkommt.
