Zeigen Sie: Falls für ein n∈ℕ die Zahl q^n ganzzahlig ist, dann ist q ebenfalls eine ganze Zahl.

Question

Ich soll folgende Aufgaben lösen:

1.) Falls q∈ℚ. Zeigen Sie: Falls für ein n∈ℕ die Zahl qⁿ ganzzahlig ist, dann ist q ebenfalls eine ganze Zahl.

2.) Zeigen Sie, dass für jede natürliche Zahl n > 0 die Summe √n + √(n+1) irrational ist.

Das geht wohl am besten mit der Primfaktorzerlegung aber irgendwie steig ich da nicht durch. Steh entweder auf dem Schlauch oder keine Ahnung?!

Comments

ich hab bei dem q vor ganzzahlig vergessen, dass es nicht nur q ist,sondern q^n.

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Woher weißte, dass wir eine Primfaktorzerlegung vornehmen sollen?
Aus ner Übung?

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Das hat der Dozent am Anfang der letzten Vorlesung gesagt.

Answer 1

1.) Sei q = b/c mit ganzen Zahlen b und c maximal gekürzt, das heißt ggT(b, c) = 1.
Nehmen wir das Gegenteil an, sei q keine ganze Zahl also c ≠ 1, aber qⁿ sei eine ganze Zahl. Dann gilt:
qⁿ = bⁿ/cⁿ

Zwei Zahlen sind teilerfremd, wenn die Schnittmenge ihrer Primfaktorzerlegungen leer ist. Da sich bei einer Potenz die Menge der Primfaktoren nicht ändert, sind also auch bⁿ und cⁿ teilerfremd. Außerdem folgt aus c≠1 auch cⁿ ≠ 1 also ist bⁿ/cⁿ ein maximal gekürzter echter Bruch ⇒ qⁿ ist keine ganze Zahl, das ist ein Widerspruch.

 

2.) Nehmen wir das Gegenteil an, also

√n + √(n+1) ist rational,

√n + √(n+1) = q/p sei maximal gekürzt. Dann gilt:

n + 2√n√(n+1) + n+1 = q²/p²

2√n√(n+1) = q²/p²-2n-1       (*)

Offenbar muss also auch

2√n√(n+1) eine rationale Zahl sein.

Sei also

2√n√(n+1) = a/b maximal gekürzt. Dann gilt:
4n²+4n = a²/b²

n²+n = a²/4b²

Das hieße, a²/4b² wäre eine ganze Zahl, also wäre nach 1.) auch a/(2b) eine ganze Zahl. Das geht nur, wenn a/b sogar eine gerade Zahl ist. Daraus folgt, dass q²/p² eine ungerade ganze Zahl ist, dass also p=1 und q eine ungerade ganze Zahl ist.

Nun kann man die Gleichung (*) nach n lösen:

4n²+4n = q⁴ - (4n+2)*q² + (2n+1)²
4n = q⁴ - 4nq²-2q² + 4n+1
4nq² = q⁴ + 1 - 2q²
4n = q² - 2 + 1/q²

Die linke Seite ist zwingend eine positive ganze Zahl. Für jedes q größer als 1 ist die rechte Seite eine gebrochene Zahl, da q²-2 eine ganze Zahl und 1/q² eine gebrochene Zahl ist. Das ist ein Widerspruch.