Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Tür beim k-ten Versuch geöffnet wird, wenn ...?

Question

Eine  Frau  hat n Schlüssel,  von  denen  nur  einer  die  Tür offnet.  Sie  versucht  die Schlüssel  zufällig.  Wie  groß  ist  die  Wahrscheinlichkeit,  dass  die  Tür  beim k-ten  Versuch geöffnet wird, wenn

(a)  die Frau verwirft die Schlüssel, die nicht funktionieren.
(b)  die Frau verwirft nicht die Schlüssel, die nicht funktionieren

Answer 1

a)

P(X = 1) = 1/n

P(X = 2) = (n - 1)/n * 1/(n - 1) = 1/n

P(X = 2) = (n - 1)/n * (n - 2)/(n - 1) * 1/(n - 2) = 1/n

P(X = k) = 1/n

b)

P(X = 1) = 1/n

P(X = 2) = (n - 1)/n * 1/n = (n - 1)/n^2

P(X = 3) = (n - 1)/n * (n - 1)/n * 1/n = (n - 1)^2/n^3

P(X = k) = (n - 1)^{k - 1}/n^k