Rechenregeln für Komplemente von Mengen zeigen: 1. (A ∪ B)^c = A^c ∩ B^c 2. A ∩ A^c = ∅ 3. (A^c)^c = A

Question

Sei X eine Menge und A eine Teilmenge von X. Dann heisst A^c  := X\A das Komplement von A (in X).

Zeigen Sie für A, B ⊂ X folgende Mengengleichheiten:

1. (A ∪ B) ^c = A^c ∩ B^c

2. A ∩ A^c = ∅

3. (A^c)^c = A

 

Wann darf ich hier das Vereinigungs/Durschnittszeichen umkehren?

Comments

Was heisst bei euch beweisen? Darfst du Mengediagramme zeichnen? Das wäre hier das Einfachste.

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ich glaub ich darf bei mir eines als Hilfe zeichnen, aber ich muss schon einen richtigen Beweis anschreiben.

 

bei 3. würds ich so machen:

Sei x ∈X, dann ist x ∈ A ↔ x ∉ A^c ↔ x ∈ (A^c )^c

 

Aber ich weiß nicht wie ich das bei den anderen machen sollte /darf.

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Vom Duplikat:

Titel: Aufgabe 1

Stichworte: analysis

1. Es sei X eine Menge und M ⊂ P(X) ein Mengensystem auf X. Beweisen Sie die de
Morgan’schen Regeln:

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Schau mal dort:

https://www.mathelounge.de/53512/rechenregeln-fur-komplemente-von-mengen-zeigen-a-a-c-3-a-c-c

Musst noch von 2 auf

beliebig viele Mengen verallgemeinern.

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Chala,

nimmst du Antworten überhaupt zur Kenntnis?

Für wen gelten die Schreibregeln? https://www.mathelounge.de/schreibregeln

Echte Duplikate gibt es auch (einige!) . Hier mal Umleitung zu https://www.mathelounge.de/53512/rechenregeln-fur-komplemente-von-mengen-zeigen-a-a-c-3-a-c-c vorgeschlagen.

Answer 1

1.)

Sei x ∈ X , dann gilt:

x ∈ ( A ∪ B ) °

[gemäß Definition:]

<=> x ∈ X \ ( A ∪ B )

[wenn x nicht in der Vereinigungsmenge von A und B liegt, dann liegt x weder in A noch in B, also:]

<=> x ∉ A ∧ x ∉ B

[wenn x nicht in A liegt, dann liegt es in X \ A und wenn x nicht in B liegt, dann liegt es in X \ B, also: 

<=> x ∈ X \ A ∧ x ∈ X \ B

[gemäß Definition:]

<=> x ∈ A ° ∧ x ∈ B °

[und das lässt sich schreiben als:]

<=> x ∈ A ° ∩ B °

 

2.)

Behauptung: A ∩ A ° = ∅

Widerspruchsbeweis

Annahme: A ∩ A ° ≠ ∅

dann gibt es ein x ∈ X mit

x ∈ A ∩ A °

<=> x ∈ A ∧ x ∈ A °

<=> x ∈ A ∧ x ∈ X \ A

<=> x ∈ A ∧ x ∉ A

Es gibt kein x aus X, das Element von A und gleichzeitig nicht Element von A ist, also Widerspruch und damit gilt die Behauptung.

 

3.)

Sei x ∈ X , dann gilt:

x ∈ ( A ° ) °

<=> x ∈ X \ A °

<=> x ∈ X ∧ ¬ ( x ∈ A ° )

<=> x ∈ X ∧ ¬ ( x ∈ X \ A )

<=> x ∈ X ∧ ¬ ( x ∈ X ∧ ¬ x ∈ A )

<=> x ∈ X ∧ ( ¬ x ∈ X ∨ x ∈ A )

<=> ( x ∈ X ∧  ¬ x ∈ X )  ∨ ( x ∈ X ∧ x ∈ A )

<=> false ∨ ( x ∈ X ∧ x ∈ A )

[wegen A ⊂ X :]

<=> x ∈ A

Answer 2

Hallo

 bei all solchen Aufgaben beschreibt man die Eigenschaften eines Elementes links und zeigt dass die Eigenschaften eines Elementes rechts dieselben sind. Oder jedes Element links ist auch ein Element rechts. Das gilt für beide Aufgaben.

Gruß lul