Beweisen Sie für jedes n aus N summe von 1 bis n ((-1)^{n-k}*k^2) = n+1 über 2

Question

ich soll beweisen, dass folgendes gilt:

$$ \sum_{k=1}^{n}{(-1)^{n-k}k^{2}}=\begin{pmatrix} n+1\\2 \end{pmatrix} $$

für jedes n aus den natürlichen Zahlen.

Ich versuche dies über vollständige Induktion. Für n = 1 lässt sich ja einfach ausrechnen:

$$ \sum_{k=1}^{1}{(-1)^{1-k}k^{2}}=(-1)^{1-1}*1^{2}=1=\begin{pmatrix} 2\\2 \end{pmatrix} $$

Ich bin mir nun nicht wirklich sicher, wie der Schritt n -> n+1 aussehen muss, da mich das

$$ (-1)^{n-k} $$

irritiert, setze ich bei diesem n auch n+1 ein? Wäre der nächste Schritt dann

$$ \sum_{k=1}^{n+1}{(-1)^{n+1-k}k^{2}}=\sum_{k=1}^{n}{(-1)^{n-k}k^{2}}+(-1)^{(n+1)-(n+1)}(n+1)^{2} $$

oder muss ich diesen Schritt anders bilden?

Answer 1

Zu zeigen
∑ (k = 1 bis n) ((-1)^{n - k}·k^2) = (n + 1 über 2)
∑ (k = 1 bis n) ((-1)^{n - k}·k^2) = 1/2·n·(n + 1)

Induktionsanfang n = 1
∑ (k = 1 bis 1) ((-1)^{1 - k}·k^2) = 1/2·1·(1 + 1)
((-1)^{1 - 1}·1^2) = 1/2·1·(1 + 1)
1 = 1
stimmt

Induktionsschritt n --> n + 1
∑ (k = 1 bis n + 1) ((-1)^{n + 1 - k}·k^2) = (n + 1 + 1 über 2)
∑ (k = 1 bis n) ((-1)^{n + 1 - k}·k^2) + ((-1)^{n + 1 - (n + 1)}·(n + 1)^2) = (n + 2 über 2)
∑ (k = 1 bis n) ((-1)^{n + 1 - k}·k^2) + ((-1)^0·(n + 1)^2) = 1/2·(n + 1)·(n + 2)
∑ (k = 1 bis n) (- (-1)^{n - k}·k^2) + (n + 1)^2 = 1/2·(n + 1)·(n + 2)
- (1/2·n·(n + 1)) + (n + 1)^2 = 1/2·(n + 1)·(n + 2)
- (1/2·n) + (n + 1) = 1/2·(n + 2)
- 1/2·n + n + 1 = 1/2·n + 1
1/2·n + 1 = 1/2·n + 1