Zeige, ob eine Aussage Konvergent ist oder nicht

Question

Hallo Community,

wie finde ich heraus, ob eine Aussage konvergent ist oder nicht? Die Aufgabe ist:

" Entscheide, ob Aussage richtig oder falsch ist, wenn falsch, dann finde ein Gegenbeispiel

a) Seien ( a_n ) und ( b_n ) Folgen von reellen Zahlen. Konvergiert die Summenfolge ( a_n ) + ( b_n ), so konvergieren ( a_n ) und ( b_n ). "

Konvergent ist sie, wenn sie einen Grenzwert besitzt aber wie ich den herausfinde, das weiß ich leider nicht.

Wenn ich lim = 1/n nehme, die konvergiert gegen 0, wäre dies für lim 1/n + 1/n = 2/n?
Dann geht sie trotzdem an die 0? Und wäre die Aussage richtig?

Answer 1

Was ist mit den Folgen:

an = n + 4

bn = 4 - n

Comments

Erstmal danke für die Antwort. Ich verstehe leider nicht, wie ich herangehen soll.

Soll ich einfach einsetzen und schauen?

z.b. n-1 / n

oder um Divergenz zu finden: einfach n oder auch (-1)^n?

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Du sollst mal meine beiden Zahlenfolgen nehmen und damit die Aufgabenstellung untersuchen. Und dann experimentierst du mit eigenen Folgen.

Answer 2

Vorweg: Nicht die Aussage ist konvergent (oder nicht), sondern die Aussage über Konvergenz ist wahr oder falsch.

Die Aussage: "Seien ( a_n ) und ( b_n ) Folgen von reellen Zahlen. Konvergiert die Summenfolge ( a_n ) + ( b_n ), so konvergieren ( a_n ) und ( b_n ). "  ist falsch.

Beweis: Nimm die Zahlenfolgen vom Mathecoach. Dann heißen alle Folgenglieder von a_n + b_n konstant 4. Die Folge a_n + b_n konvergiert gegen 4. Aber sowohl a_n als auch b_n sind divergent.

Comments

Vielen Dank für die Antwort. Reicht dies aber schon als Lösung für die Aufgabe?

Meine Frage ist nun: Wie geht man allgemein voran? Habt ihr willkürrlich eine Gleichung gewählt? Dss verstehe ich nur nicht. Entschuldige, wenn ich es blöd gefragt habe aber ich würde es wirklich gerne wissen um auch die nächsten Aufgaben lösen zu können. Ich hoffe, dass meine Frage relativ verständlich war.

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Welches sind die einfachsten Folgen die du kennst ?

Fallen dir spontan zwei extrem einfache Folgen ein die nicht konvergieren deren Summe allerdings konvergiert.

Wenn nicht ist das nicht so schlimm. Du solltest meine Folgen mal untersuchen und dich Fragen warum jede einzelne für sich divergiert aber die Folge der Summanden beider Folgen konvergiert.

Dann erkläre mir den Sachverhalt als hätte ich keine Ahnung. Ich denke das bringt dich weiter.

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Wäre n+2 eine mögliche Folge? Was ich immer noch nicht verstehe ist, wie ich herausfinde, ob an oder an + bn konvergieren oder nicht. Wie teste ich dies?

Weil, wenn ich jetzt für a_n = n + 4 und b_n = 4 - n nehme, dann eine Zahl einsetze, z.b. n = 1, dann ist das Ergebnis für

a_n = 5 und b_n = 3

für a_n + b_n = 8

Wo mache ich etwas Falsch, dass ich nicht zur Aussage von Roland komme, dass a_n konstant zu 4 ist aber an+bn gegen 4 konvergiert?

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Dann schlag nochmal die Konvergenz nach. Du musst wissen was sie bedeutet und wie man sie errechnet.

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Vielen Dank für die Antworten. Gerade im Thema: Konvergenz von Folgen. Die Thematik ist neu, daher ist sie mir noch Unbekannt. Trotz allem vielen Dank.