x^3=x für alle x ∈ Sn/An

Question

Kann mir jemand die folgende Aussage erklären und sagen ob sie wahr oder falsch ist?

x³=x für alle x ∈ S_n/A_n

Comments

Wofür stehen S_n und A_n?

x^3= x

x^3-x =0

x(x^2-1) =0

x= 0 v x= +-1

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Symmetrische Gruppe S_n und alternierende Gruppe A_n https://de.wikipedia.org/wiki/Alternierende_Gruppe#Eigenschaften

https://de.wikipedia.org/wiki/Symmetrische_Gruppe

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Betrachten wir S₃:
S₃ = {(1 2 3), (1 2 3), (1 2 3), (1 2 3), (1 2 3), (1 2 3)}
          (1 2 3)  (1 3 2)  (2 1 3) (2 3 1)  (3 1 2)  (3 2 1)
A₃ = {(1 2 3), (1 2 3), (1 2 3)}
          (1 2 3)  (2 3 1)  (3 1 2) 
S₃/A₃ = {(1 2 3), (1 2 3), (1 2 3)}
              (1 3 2)  (2 1 3)  (3 2 1)
Hier ist ganz offensichtlich x³ = x für alle x ∈ S₃/A₃.  Wie kann man dies für alle S_n/A_n zeigen?

Answer 1

Ich habe ein x gefunden, für das nicht x³ = x.  Siehe Bild.  Damit ist die Behauptung widerlegt.