Ich erklär dir jetzt, wie man das richtig macht. Also ich halte das für Murx; mein Daddy war Ingenieur. Der sagte auch immer, ohne gescheites Werkzeug wird das nix. So nach dem Motto
" Der freundliche Mann an der Trinkhalle wird euch bestimmt eine Zigarrenkiste schenken; und mit einem Handbohrer so wie einer Tube Uhu klappt das schon ... "
Ich mach das nämlich ohne eine einzige Unbekannte.
Anfangspunkt der Ebene sei
A := ( 1 | 0 | 0 ) ( 1a )
Und jetzt ihre beiden Basisvektoren
u := B - A = ( 0 | 1 | 1 ) ( 1b )
Hast du zwar richtig; ich weise dich aber höflich darauf hin, dass man Richtungsvektoren renormieren darf. Der ggt = 2 bleibt weg; hat man euch das nicht gesagt?
v := C - A = ( 0 | 1 | 2 ) ( 1c )
E ( r : s ) = A + r u + s v =: P € E | - A ( 2a )
ist die Parameterform der Ebene. Was soll jetzt auf einmal dieses P? Das ist nix weiter als ein unbestimmter Punkt auf E
P := ( x | y | z ) ( 2b )
Ich habe auch wie üblich die Umformung in ( 2a ) vermerkt.
r u + s v = P - A ( 2c )
Und jetzt mache ich ein kleines Vexierspiel zwischen den Begriffen UnBESTIMMTE und UnBEKANNTE. Auf einmal sage ich nein; P sei fest gepinnt mit einer Reißzwecke oder Pattex. also ein Punkt, den wir als fest und bekannt voraus setzen. Dann auf einmal werden r und s zwei Unbekannte; und die Koeffizientenmatrix ( KM ) von ( 2c ) ist vom Format 3 X 2 und hat ===> Rang 2 - schlicht und ergreifend, weil ja u und v zwei ===> linear unabhängige Spaltenvektoren sind bzw. Basisvektoren der Ebene E. Sonst würden sie ja keine Ebene aufspannen.
Dann ist aber die ===> erweiterte KM QUADRATISCH vom Format 3 X 3 und hat eben Falls Rang 2 - ihre ===> Determinante verschwindet.
det ( u | v | P - A ) = 0 ( 3 )
Warum Rang 2 ? Weil wenn eine Lösung in r und s existiert, dann behaupten wir doch, dass sich die rechte Seite aus u und v zusammen setzen lässt.
Wenn du Kreuzprodukt drauf hast, gibt es noch einen alternativen Weg, dir das zu erklären. Sieh's doch so; was selbst die Studenten nicht begreifen. Eine Determinante ist weiter nix als ein Spatvolumen.
Quadrat verhält sich zu Rechteck wie Würfel zu? Zu Quader.
Rechteck verhält sich zu Parallelogramm wie Quader zu? Zu Spat. Und wenn u, v so wie ( P - A ) alle drei in einer Ebene liegen, " komplanar " sind, ist das von ihnen aufgespannte Volumen natürlich Null - so einfach ist das.
Unser Musiklehrer Pauli war sehr Teorie lastig; und wenn wir ihm dann auf der Blockflöte vorexerzieren mussten, sprach er immer die geflügelten Worte
" So. Das war die Teorie; und jetzt kommt die Praxis. "
" Welchen Notenwert hat der Pauli? "
" Halbe Note - hohler Kopf mit Hals ... "
Was ich doch sagen will: eine Determinante ist weiter nichts als eine Tabelle, deren Einträge es vorschriftsmäßig zu füllen gilt; siehe ( 1a-c;2b;3 )
| 0 0 x - 1 |
det = | 1 1 y | = 0 ( 4a )
| 1 2 z |
Sagen wir mal so: Auf allen Gebieten des Zahlenrechnens gibt es schmutzige Tricks; das dürfte dir so weit nicht neu sein. Und wenn eben in einer Zeile oder Spalte abnorm viele Nullen zu Gange sind, dann plädiert der Experte immer für das Faulheitsprinzip des ===> Determinanten-Entwicklungssatzes. Wenden wir den selben an auf Zeile 1 ; d.h. Zeile 1 so wie Spalte 3 sind durchzustreichen.
det = ( x - 1 ) | 1 1 |
| 1 2 | = 0 ( 4b )
Dass die 2 X 2 Unterdeterminante in ( 4b ) nicht verschwinden kann, ist wohl klar. Täte sie es, es käme der Katastrofe gleich 0 = 0 . Ihr genauer Wert intressiert gar nicht mehr; nach dem " Satz vom Nullprodukt " muss in ( 4b ) gelten x = 1 . Und das ist die gesuchte Gleichung von Ebene E ; also eine Ebene, die im Punkt x = 1 auf der Abszisse senkrecht steht.
Probe stimmt auch; drei Punkte definieren eindeutig eine Ebene.
Dann war noch die Geradengleichung gesucht
g = t ( 1 | 0 | 1 ) ( 5 )
Schnittpunktsbedingung; in ( 5 ) ist für die x-Koordinate zu setzen x = t = 1 ; und wenn t = 1 , erhältst du als Schnittpunkt genau den Richtungsvektor aus ( 5 )
