Beginnen wir mit |Q . Mach dich mal schlau über den ===> Satz von der rationalen Nullstelle ( SRN ) Auch hier wieder meine Polemik; die in wiki ( und wer weiß wo noch ) kolportierte Behauptung, der Entdecker sei Gauß, stellt die GRÖSSTE FÄLSCHUNG der Matematikgeschichte dar; die Indizien verdichten sich, dass das Entdeckungsjahr 1975 ist - Entdecker einstweilen noch unbekannt ...
Hey Chanelle; Mathe kann auch sehr aufregend sein ...
Frag deinen Lehrer. Die wichtigsten Algebrabücher, die je gedruckt wurden: Artin und v.d. Waerden ( 1930 )
Der weiß das; schließlich hat er ja studiert.
Er möge sich selbst überzeugen, dass keiner dieser beiden Autoren etwas von einem " SRN " wusste ...
Und jetzt zu deiner Frage. Das Polynom
f ( x ) := x ^ 4 - 5 ( 1 )
ist normiert. In diesem Falle sagt der SRN aus: Rationale Wurzeln müssen schon GANZZAHLIG sein.
Ich glaube du beginnst das mit der Fälschung schon zu durchschauen. Sag doch selbst; hast du je so einen einfachen Irrationalitätsbeweis gesehen?
1 ^ 4 = 1 ===> 1 < 5 ^ 1/4 ( 2a )
2 ^ 4 = 16 ===> 2 > 5 ^ 1/4 ( 2b )
Eben WEIL 5 ^ 1/4 irgendetwas " Unrundes " , nicht Ganzzahliges sein müsste, kann es nicht rational sein.
Und jetzt |R . Wäre die frage, ob sie dir das mit dem ===> Supremum schon erzählt haben. Betrachte dochmal die Menge
M := { x € |Q | x ^ 4 < 5 } ( 3 )
Keine Frage, dass M nach Oben beschränkt ist ( z.B. durch die Zahl 2 ) Das Wort " Supremum " bedeutet " KLEINSTE obere Schranke " ; und die gibt es hier nicht. Sonst wäre ja 5 ^ 1/4 rational. ( Jede Zahl, die kleiner ist als dieses Supremum, läge bereits in M . )
Und die reellen Zahlen funktionieren eben so - genau deshalb benutzt man sie nämlich - dass jede nach Oben beschränkte Menge automatisch ihr Supremum besitzt. D.h. wechselst du in ( 3 ) das Symbol |Q aus durch das Symbol |R , kommt auf einmal über das Supremum heraus, dass die reelle Zahl 5 ^ 1/4 existieren muss ===> Dedekindscher Schnitt .
Ganz analog lässt sich übrigens zeigen, dass es eine reelle Zahl 5 ^ 1/2 geben muss. Warum ich das sage? Faktorisiere dochmal ( 1 ) über |R nach der 3. binomischen.
x ^ 4 - 5 = [ x ² + sqr ( 5 ) ] [ x ² + sqr ( 5 ) ] ( 4 )
Du das wird jetzt total übersichtlich. Nach dem " Satz vom Nullprodukt " ( der in Wahrheit ganz anders heißt ) musst du entweder die linke eckige Klammer gleich Null setzen oder die rechte. Nach allem, was du über quadratische Gleichungen gelernt hast, liefert dir die rechte Klammer zwei Lösungen " Plusminus " , wohingegen die linke im Reellen nicht lösbar ist. Antwort also: 2 Wurzeln .
Was im Komplexen total den Ausschlag gibt: der ===> Fundamentalsatz der Algebra. Es gibt ihn in zwei äquivalenten Ausführungen:
" Jedes ( reelle oder komplexe ) Polynom spaltet über |C einen Linearfaktor ( LF ) ab. "
" Jedes ( reelle oder komplexe ) Polynom zerfällt über |C vollständig in LFF. "
( Dies ist die Eigenschaft der sog. ===> algebraischen Abgeschlossenheit; ich verweise insbesondere auf den äußerst instruktiven Beitrag von Wiki hierzu. )
Wir müssen uns allerdings Gedanken machen über die mögliche ===> Vielfachheit ( Entartung ) von Wurzeln. Mehrfachlösungen würden ja bedeuten, dass die Ableitung f ' ( x ) von Polynom ( 1 ) verschwindet; und dies ist ausschließlich der Fall in x0 = 0 , was nun sicher keine Lösung ist.
Selbst wenn wir von der Struktur der Lösung keine Vorstellung hätten, ist doch klar: Wir erwarten vier einfache Wurzeln.
