Banach’scher Fixpunktsatz

Question

kann mir jemand zeigen wie ich das beweisen kann? :)

Sei f : [a, b] → [a, b] eine stetig differenzierbare Funktion. Zeige: f ist genau dann eine Kontraktion, wenn
|f'(x)| < 1 für alle x ∈ [a, b] gilt.

 (Herkunft: Banach’scher Fixpunktsatz)

Und dann soll ich noch zeigen, dass die Gleichung 1/4 + 1/2 * sin (x) =x  im Intervall  [0, π/2] nur eine Lösung hat

Wie hängen die Aufgaben überhaupt miteinander zusammen....was hat das eine mit dem anderen zu  tun?

Answer 1

  Siehe auch Wiki zu dem Tema. Teil 1 würde ich mit dem Mittelwertsatz ( MWS ) erschlagen.  Seien x und y aus deinem Intervall;  dann bezeichne

     x0  :=  x0  (  x  ;  y  )      (  1  )

     ( einen  )   Mittelwert im Sinne des  MWS .  Dann gilt

    f  (  y  )  -  f  (  x  )  =  (  y  -  x  )  f  '  (  x0  )     (  2a  )

    Von  ( 2a ) nehmen wir den Betrag:

    |  f  (  y  )  -  f  (  x  )  |  =  |  y  -  x  |  |  f  '  (  x0  )  |       (  2b  )

   "   ===>  "   (  hinreichende Bedingung  )

    Sei also   |  f  '  (  x  )  |  <  1   auf dem ganzen Intervall;  dann folgt in ( 2b ) die Behauptung

      |  f  (  y  )  -  f  (  x  )  |  <  |  y  -  x  |      (  3  )

    "  <===  "   (  notwendige Bedingung  )

   Du nimmst also an, es gebe ein Teilintervall,  wo die Ableitung  ( dem Betrage nach ) überall gleich pder sogar größer Eins ist.  Es leuchtet aber sofort ein, dass dann auf  diesem Teilintervall auch Ungleichung ( 3 ) verletzt wird ( Statt " kleiner  "  bekommst du  " größer gleich " )

  Es  verhält sich total witzig;   hast du ersten diesen Fixpunktsatz verstanden und zweitens die spezielle Aussage, die wir oben in ( 3 ) zu zeigen hatten. Dann ist das selbst erklärend, was der zweite Teil soll.

   Onkel Banach hat es mit Kontraktionen f .  Für diese gibt es ein und nur ein x0, so dass

      f  (  x0  )  =  x0       (  4  )

   Sowas  schimpft sich ganz allgemein Fixpunkt. In unserem Fall ist offenbar dieses f

    f  (  x  )  :=  1/4  +  1/2  sin  (  x  )      (  5  )

   Du rechnest also nach, dass auf dem angegebenen Intervall die ableitung von ( 5 ) überall ( dem Betrage nach ) kleiner Eins.  Dann ist wie gesagt die Forderung ( 4 )  des Fixpunktsatzes erfüllt.

Comments

  Ach eh ich dir was Falsches erzähle.   Kennst du das kalifornische Psychiater-Ehepaar Antonio und Margarete ===>  Damasio und ihre ===> Amygdala?  Ich meine ohne Bauchgefühl wirst du nix in Mathe.  Was die Damasios widerlegt haben, ist genau die Utopie des Vulkaniers " Spock " von der Enterprise.  De Frankfotter sescht ja ganz tippisch

   " Isch hab da so blödes Gefühl; des hat misch noch nie getroge ... "

   Weil es kann ja nicht  sein, dass Gleichung ( 5 ) auf jedem beliebig kleinen Intervall eine Lösung hat  ..  Allererst ist zu zeigen, dass Funktion ( 5 ) wie angegeben eine Abbildung in das geforderte Intervall ist. Sonst könnte sie keine Kontraktion sein.

    Ich war ja ein Mann der ersten Stunde.  1960, da war ich Neun, veröffentlichte der Digest, es gebe da eine Hypotese, dass unser Gefühlsleben in dem Mandelkern sitzt;  und seit ich aus der Spektrum vom Damasio weiß, kann ich auch meine Erinnerungen besser einordnen.

   Da war Simon, seines Zeichens Studienrat in Mathe und Physik. Wir hatten ijn in Physik in der 9d so wie 10d.

   Der Mann wurde nie heftig; spracn stets leise wie eine Jungfrau.   Aber rein verbal konnte der schon rüberbringen, wenn  ihm was nicht passte.  Simon wusste um seine Krankheit;  darum behauptete er konstant, die Klasse solle sich den Stoff autodidaktisch erarbeiten.  Weil er im Grunde fürchtete, seine Reaktionen könnten sich als unpassend heraus stellen im Zusammenhang mit den Fragen, die etwa ein Knabe äußerte.

   Seifert, unser Feuerzangenlehrer in oiiigaaanischer Kämmie hielt auch mit Kollegenschelte nicht zurück.   Von ihm erfuhren wir, dass Simon im Kollegium den Spitznamen hatte " das Vollgenie "  Seiferts Aussage ist absolut glaubhaft, Simon habe in einer Klasse 7 ( !!! )  die Integralrechnung  eingeführt ... Seifert ( beachte bitte den tödlichen Sarkasmus )

   " MEINE Buben kommen nächt an tisse Anßßtalt.  Zwar ließe sich immer was machen, das die nicht zu Pappi in die Klasse kommen.

   Aber stellt euch vor, die Knaben kommen mittags nach Hause und tragen mir ihre sog.  '  Ansichten  '   über das Vollgenie vor; nie wieder könnte ich Kollegen Simon unbefangen in die Augen sehen ... "

   ( Analysiere diesen Satz mal mit formaler Logik. )

   Ich selbst erinnere mich, dass Simon völlig unmmotiviert die russellsche Antinomie einführte.

    " die Menge aller Mengen, die sich nicht selbst enthalten.  wisst ihr, wie der Dorffriseur definiert ist?

   Der Dorffriseur ist derjenige Mann im Dorfe, der diejenigen rasiert, die sich nicht selber rasieren.

   Rasiert sich der Dorffriseur selber? "

   Die Reaktion aus der Klasse:  Wir waren ja im Flegelalter; ein Rüpel brüllt

   " Könne SIE sich überhaupt selber rasieren? "

   und wirft ihm ein schweres Federmäppchen samt Spitzer und Radiergummi an den Kopf.

   Das war eigentlich schon versuchte Körperverletzung.