Abgeschlossenheit zeigen wie? Zeigen Sie: A = ∩ B (auf dem A ist eine Linie darüber)

Question

Hay meine Lieben,

versteht das einer von euch. Ich sitze mit meiner Freundinn an den Aufgaben, aber wir kommen nicht weiter...

Es seien n ∈ ℕ und A ⊆ ℝ ⁿ eine beliebige Menge.

Zeigen Sie: A = ∩ B           (auf dem A ist eine linie darüber)

                     B⊇A

                     B abgeschlossen

Comments

Das versteht keiner von uns. Es fehlen wesentliche Angaben.

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Ich habe es versucht wie in der orginalaufgabe zu schreiben hat aber nicht geklappt. 

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Ich habe es versucht wie in der orginalaufgabe zu schreiben hat aber nicht geklappt.

Dann formuliere es ohne mathematische Symbole, zum Beispiel "Der Abschluss von A ist der Durchschnitt der abgeschlossenen Obermengen von A." Das ist auf dem Weg zur Lösung sowieso der erste Schritt.

Oder du lernst \(\LaTeX\). Dann kannst du auch $$\bar{A}=\bigcap_{\begin{array}{c} B\supseteq A\\ B\text{ abgeschlossen} \end{array}}B$$ schreiben. Wer mit Mathematik zu tun hat, für den ist \(\LaTeX\) fast schon Pflicht.

Answer 1

Sei \(M = \{X\subseteq \mathbb{R}^n | A\subseteq X \wedge X \text{ abgeschlossen}\}\).

Weil der Durchschnitt beliebig vieler abgeschlossener Mengen abgeschlossen ist, ist \(\bigcap_{B\in M}B\) abgeschlossen. Weil zusätzlich \(A \subseteq B\) für alle \(B\in M\) gilt, ist  \(\bigcap_{B\in M}B\) eine abgeschlosssene Obermenge von \(A\). Insbesondere enthält \(\bigcap_{B\in M}B\) alle Häufungspunkte von \(A\). Somit ist \(\bar{A}\subseteq \bigcap_{B\in M}B\).

Sei \(a \in \bigcap_{B\in M}B\). Wegen \(\bar{A} \in M\) ist \(a \in \bar{A}\) und somit \(\bigcap_{B\in M}B\subseteq \bar{A}\).

Also ist \(\bar{A} = \bigcap_{B\in M}B\).

Answer 2

  Ich argumentiere klein wenig anders.  Wegen

_________

   ______                   _____

          A                =      A                  (  1  )

                 ___

     ist M := A              selbst eine der Obermengen deiner Familie.  Da der Durchschnitt D ( B ) abgeschlossener Mengen immer wieder abgeschlossen ist,  muss dieser Durchschnitt D  selbst eine der Gliedmengen B_i  sein  ( Geheimtipp;  nimm doch am besten als Indexmenge für die B_i  ===> Ordinalzahlen ( OZ )   dann stellt sich sogar heraus:  Ihre Kardinalzahl bzw. Mächtigkeit  ist ihre kleinst mögliche OZ. )

    Ich könnte diese einzelnen Mengen kennzeichnen durch das Supremum  ihres Anstandes

                 sup  d  (  A  ;  B_i      )          (  2  )

    Der Abschluss bzw. die Menge M  ist dann eindeutig definiert durch die Mengen Eigenschaft

          d  (  A  ;  M  )  =  0       (  3  )

    

     und aus ( 3 ) die Behauptung.

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Vielen Dank für die Antwort