Aufgabe 1:
a)
$$ \text{Hier am besten die Reihe erstmal vereinfachen,}\\\text{um damit besser arebiten zu können.}\\\begin{pmatrix} n\\3 \end{pmatrix}=\frac{n!}{3!(n-3)!}\\\text{Das ergibt in die Reihe eingesetzt:}\\\sum_{n=4}^{\infty}{n}\frac{n}{\begin{pmatrix} n\\3 \end{pmatrix}}\cdot(x-4)^n\\=\sum_{n=4}^{\infty}{n}\cdot\frac{3!(n-3)!}{n!}\cdot(x-4)^n\\=\sum_{n=4}^{\infty}\frac{6\cdot(n-3)!}{(n-1)!}\cdot (x-4)^n\\=:\sum_{n=4}^{\infty}a_n\\\text{Mit dem Qoutientenkriterium lässt sich schnell ermitteln,}\\ \text{für welche x die Reihe konvergieren wird.}\\\Bigg|\frac{a_{n+1}}{a_n}\Bigg|\\=\Bigg|\frac{6\cdot (n-2)!}{n!}\cdot(x-4)^{n+1}\cdot \frac{(n-1)!}{6\cdot(n-3)!}\cdot \frac{1}{(x-4)^n}\Bigg|\\=\Bigg|\frac{n-2}{n}\cdot(x-4)\Bigg|\rightarrow x-4 \stackrel{(!)}{<}1\\\text{Jetzt die Lösungsmenge ermitteln.}\\\text{Fall 1}\\ x-4\geq 0 \Leftrightarrow x\geq 4\\x-4<1 \Leftrightarrow x<5\\\text{Fall 2}\\ x-4< 0 \Leftrightarrow x< 4\\-x+4<1 \Leftrightarrow x>3\\\text{Für }x \in ]3,5[ \text{ ist die Reihe also konvergent.} $$
b)
$$ f(5)=\sum_{n=4}^{\infty}{\frac{6\cdot(n-3)!}{(n-1)!}\cdot(5-4)^n}\\=\sum_{n=4}^{\infty}{\frac{6\cdot(n-3)!}{(n-1)!}}\\\stackrel{(*)}{=}\sum_{n=1}^{\infty}{\frac{6\cdot n!}{(n+2)!}}\\=\sum_{n=1}^{\infty}{\frac{6\cdot n!}{(n+2)\cdot(n+1)\cdot n!}}\\=\sum_{n=1}^{\infty}{\frac{6}{(n+2)\cdot(n+1)}}\\=6\cdot \sum_{n=1}^{\infty}{\frac{1}{(n+2)\cdot(n+1)}}\\=\lim\limits_{m\to\infty}6\cdot \sum_{n=1}^{m}{\frac{1}{(n+2)\cdot(n+1)}}\\\stackrel{(**)}{=}6\cdot \lim\limits_{m\to\infty}\frac{m}{2m+4}\\=6\cdot \lim\limits_{m\to\infty}\frac{1}{2+\frac{4}{m}}=3. $$(*) Indexverschiebung
(**)https://www.wolframalpha.com/input/?i=sum+of+n%2FnCr(n,3)+from+n%3D4+to+infty
Aufgabe2:
Damit eine Funktion differnzierbar ist, muss sie auch stetig sein.Hier soll das für die kritische Stelle x=-1 in Augenschein genommen werden.Beide Funktionsäste müssen hier denselben Wert annehmen und dieselbe Steigung haben.Das führt somit zu folgendem Gleichungssystem:$$ \begin{aligned} &(1) \quad \frac{a}{4}x+b &= bx^2-\frac{3}{4}ax+4 \quad|\cdot 4 \\ &(2) \quad \frac{a}{4} &= 2bx-\frac{3}{4}a \quad |\cdot 4\end{aligned} \\\\ \Leftrightarrow\\$$$$ \begin{aligned} (1) \quad ax+4b &= 4bx^2-3ax+16 \quad |+3ax\\ 4ax+4b &= 4bx^2+16 \quad |:4 \\ ax+b &= bx^2+4\end{aligned}\\ $$$$ \begin{aligned} (2) \quad a &= 8bx-3a \quad |+3a\\ 4a &= 8bx \quad |:4 \\ a &= 2bx\end{aligned}\\ $$(2) in (1):$$ b=\frac{4}{1+x^2} $$
Mit x=-1 bekommt man a=-4 und b=2.
