Konvergenzbereich der Potenzreihe mit Binomialkoeffizient bestimmen.

Question

Kann mir jemand bei den folgenden Aufgabe 1 helfen?
x

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jeweils nur eine Frage / Frage und Text nicht als Bild eingeben.

Ich habe nun deine Überschrift und die Tags präzisiert für die Aufgabe 1.

Tippe die Aufgabentexte ab und stelle die Aufgabe 2 separat ein.

Den Text für Aufgabe 1 kannst du hier als Kommentar noch ergänzen.

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es tut mir sehr Leid für diese Unannehmlichkeit. Ich wusste einfach nicht wie man es genauso schreibt wie auf Bild. Ich kenne die Kürzel für diese Schreibweise. Können Sie mir weiterhelfen?

Answer 1

Aufgabe 1:

a)

$$\text{Hier am besten die Reihe erstmal vereinfachen,}\\\text{um damit besser arebiten zu können.}\\\begin{pmatrix} n\\3 \end{pmatrix}=\frac{n!}{3!(n-3)!}\\\text{Das ergibt in die Reihe eingesetzt:}\\\sum_{n=4}^{\infty}{n}\frac{n}{\begin{pmatrix} n\\3 \end{pmatrix}}\cdot(x-4)^n\\=\sum_{n=4}^{\infty}{n}\cdot\frac{3!(n-3)!}{n!}\cdot(x-4)^n\\=\sum_{n=4}^{\infty}\frac{6\cdot(n-3)!}{(n-1)!}\cdot (x-4)^n\\=:\sum_{n=4}^{\infty}a_n\\\text{Mit dem Qoutientenkriterium lässt sich schnell ermitteln,}\\ \text{für welche x die Reihe konvergieren wird.}\\\Bigg|\frac{a_{n+1}}{a_n}\Bigg|\\=\Bigg|\frac{6\cdot (n-2)!}{n!}\cdot(x-4)^{n+1}\cdot \frac{(n-1)!}{6\cdot(n-3)!}\cdot \frac{1}{(x-4)^n}\Bigg|\\=\Bigg|\frac{n-2}{n}\cdot(x-4)\Bigg|\rightarrow x-4 \stackrel{(!)}{<}1\\\text{Jetzt die Lösungsmenge ermitteln.}\\\text{Fall 1}\\ x-4\geq 0 \Leftrightarrow x\geq 4\\x-4<1 \Leftrightarrow x<5\\\text{Fall 2}\\ x-4< 0 \Leftrightarrow x< 4\\-x+4<1 \Leftrightarrow x>3\\\text{Für }x \in ]3,5[ \text{ ist die Reihe also konvergent.}$$

b)

$$f(5)=\sum_{n=4}^{\infty}{\frac{6\cdot(n-3)!}{(n-1)!}\cdot(5-4)^n}\\=\sum_{n=4}^{\infty}{\frac{6\cdot(n-3)!}{(n-1)!}}\\\stackrel{(*)}{=}\sum_{n=1}^{\infty}{\frac{6\cdot n!}{(n+2)!}}\\=\sum_{n=1}^{\infty}{\frac{6\cdot n!}{(n+2)\cdot(n+1)\cdot n!}}\\=\sum_{n=1}^{\infty}{\frac{6}{(n+2)\cdot(n+1)}}\\=6\cdot \sum_{n=1}^{\infty}{\frac{1}{(n+2)\cdot(n+1)}}\\=\lim\limits_{m\to\infty}6\cdot \sum_{n=1}^{m}{\frac{1}{(n+2)\cdot(n+1)}}\\\stackrel{(**)}{=}6\cdot \lim\limits_{m\to\infty}\frac{m}{2m+4}\\=6\cdot \lim\limits_{m\to\infty}\frac{1}{2+\frac{4}{m}}=3.$$(*) Indexverschiebung

(**)https://www.wolframalpha.com/input/?i=sum+of+n%2FnCr(n,3)+from+n%3D4…

Aufgabe2:

Damit eine Funktion differnzierbar ist, muss sie auch stetig sein.Hier soll das für die kritische Stelle x=-1 in Augenschein genommen werden.Beide Funktionsäste müssen hier denselben Wert annehmen und dieselbe Steigung haben.Das führt somit zu folgendem Gleichungssystem:$$\begin{aligned} &(1) \quad \frac{a}{4}x+b &= bx^2-\frac{3}{4}ax+4 \quad|\cdot 4 \\ &(2) \quad \frac{a}{4} &= 2bx-\frac{3}{4}a \quad |\cdot 4\end{aligned} \\\\ \Leftrightarrow\\$$$$\begin{aligned} (1) \quad ax+4b &= 4bx^2-3ax+16 \quad |+3ax\\ 4ax+4b &= 4bx^2+16 \quad |:4 \\ ax+b &= bx^2+4\end{aligned}\\$$$$\begin{aligned} (2) \quad a &= 8bx-3a \quad |+3a\\ 4a &= 8bx \quad |:4 \\ a &= 2bx\end{aligned}\\$$(2) in (1):$$b=\frac{4}{1+x^2}$$

Mit x=-1 bekommt man a=-4 und b=2.

Comments

Bei $$x-4\stackrel{(!)}{<}1$$ soll $$|x-4|\stackrel{(!)}{<}1$$ stehen. Gilt dann auch für das Lösen der Gleichung bei den beiden Fällen.

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Hallo hallo97,

Bei der 1. Aufgabe gibt es den Intervall ]3,5[ nicht. Oder verstehe ich da was falsch?

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Das mit den eckigen Klammern ist einfach nur eine andere Notation, um etwas Offenes zu symbolisieren.

Man kann also auch (3,5) schreiben.

Frage beantwortet?

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Alles klar! Ich danke Dir! :)