Extremwertaufgaben -> oben offener Quader

Question

Extremwertaufgaben können ja ganz verschieden aussehen.

Bei Aufgaben wie: Du hast 30m Seil um ein Rechteck mit möglichst großem Flächeninhalt einzukreisen komme ich noch klar .. aber bei solchen:

1)Du hast Pappe mit den maßen 20*60cm

Schneide an jeder Seite ein gleich großes quadrat ab (man kann dann eine Kiste draus falten) .. wie muss ich die maße nun wählen, damit das volumen hinterher am größten wird?

2) Oder: Ein Sportplatz wird mit 400m Laufbahnen umkreist .. da drin ist ja ein rechteck an den beiden seiten je ein Halbkreis. Welchen radius muss man wählen damit die zwei halbkreislängen + die 2 außenliegenden rechteckseiten zusammen 400m ergeben?

Die Zielfunktion bekomme ich denk ich noch hin

1) a*b*c

2) 2*pi*r + 2*a (a = rechteckseite)

Aber wie muss ich die nebenbedingungen wählen?

Viiiielen Dank schon mal!

Comments

Nun, wie hoch wird denn die Kiste, wenn du an jeder Ecke des Pappstücks ein Quadrat mit der Kantenlänge x abschneidest?

Und welche Länge und Breite hat die Kiste dann?


Und zu der Laufbahn: Das ist ja nun keine Extremwertaufgabe, sondern r hängt einfach von a ab. Je nachdem, wie lang man die Seite a wählt, ergibt sich der erforderliche Radius einfach durch Auflösen der Gleichung

2 pi r + 2 a = 400
nach r, also:

r = ( 200 - a ) / pi

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So weit war ich ja schon :)

Volumen = (60-2c)*(20-2c)*c

aber weiter weiß ich leider auch nicht.

Nebenfunktion Ansatz?

Danke erstmal :)

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Naja, inzwischen wurde ja eine Antwort gepostet ...

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Ich muss bei der Laufbahnaufgabe hinzufügen, dass das innere Rechteck so groß wie möglich sein soll.

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Aha ... :-)

Das ändert natürlich einiges ... siehe Kommentar zur Antwort von Der_Mathecoach.

Answer 1

1) Du hast Pappe mit den maßen 20*60cm

Schneide an jeder Seite ein gleich großes quadrat ab (man kann dann eine Kiste draus falten) .. wie muss ich die maße nun wählen, damit das volumen hinterher am größten wird?

Mache dir eine Skizze. Wenn die herausgeschnittenen Quadrate die Kantenlänge x haben ist das Volumen

V = (a - 2·x)·(b - 2·x)·x
V = 4·x^3 - 2·a·x^2 - 2·b·x^2 + a·b·x
V' = 12·x^2 - 4·x·(a + b) + a·b = 0

x = - (√(a^2 - a·b + b^2) - a - b)/6 ∨ x = (√(a^2 - a·b + b^2) + a + b)/6

Mit a=20 und b= 60 ergibt sich dann

x = - (√(20^2 - 20·60 + 60^2) - 20 - 60)/6 ∨ x = (√(20^2 - 20·60 + 60^2) + 20 + 60)/6
x = 22.15250437 ∨ x = 4.514162296

Es sollten hier also Quadrate mit der Kantenlänge 4.51 cm herausgeschnitten werden um ein möglichst großes Volumen zu bekommen.

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2) Oder: Ein Sportplatz wird mit 400m Laufbahnen umkreist .. da drin ist ja ein rechteck an den beiden seiten je ein Halbkreis. Welchen radius muss man wählen damit die zwei halbkreislängen + die 2 außenliegenden rechteckseiten zusammen 400m ergeben?

U = 2·pi·r + 2·a = 400
a = 200 - pi·r

A = 2·r·a
A = 2·r·(200 - pi·r) = 400·r - 2·pi·r^2
A' = 400 - 4·pi·r = 0

r = 100/pi = 31.83

a = 200 - pi·(100/pi) = 100

Der Radius sollte etwa 31.83 m groß sein. Die äußeren Rechteckseiten sind damit jeweils 100 m lang.

Das kommt uns denke ich bekannt vor. Genau so ist fast jeder Sportplatz angelegt.