Ungleichung mit Fakultät beweisen. Zeige (2·n über n) ≥ 4n/(n + 1) mit Induktion

Question

zeigen sie,  dass für jedes n∈ℕ0 die folgende Ungleichung erfüllt ist 

$$\begin{pmatrix} 2n \\ n \end{pmatrix}\geq\frac{4^n}{n+1}$$

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Vom Duplikat:

Titel: Ungleichung mit Fakultät beweisen. (Induktion)

Stichworte: induktion,ungleichung,binomialkoeffizient,beweis,bruch

Hallo. Es gilt folgende Ungleichung für n größer gleich 0 zu beweisen. Ich komme leider nicht weiter, es wäre nett wenn mir jemand helfen könnte.

$$\begin{pmatrix} 2n \\ n \end{pmatrix}\geq\frac{4^n}{n+1}$$

Answer 1

Zu zeigen
(2·n über n) ≥ 4ⁿ/(n + 1)
(2·n)!/(n!)² ≥ 4ⁿ/(n + 1)

Induktionsanfang: n = 1
(2·1 über 1) ≥ 4¹/(1 + 1)
2 ≥ 2
stimmt

Induktionsschritt: n --> n + 1
(2·(n + 1) über n + 1) ≥ 4^{n + 1}/((n + 1) + 1)
(2·n + 2 über n + 1) ≥ 4·4ⁿ/(n + 2)
(2·n + 2)! / ((n + 1)!)² ≥ 4·4ⁿ/(n + 2)
(2·n)!·(2·n + 1)·(2·n + 2) / (n!·(n + 1))² ≥ 4·4ⁿ/(n + 2)
(2·n)!·(2·n + 1)·(2·n + 2) / (n!²·(n + 1)²) ≥ 4·4ⁿ/(n + 2)
(2·n)!/n!² * (2·n + 1)·(2·n + 2) / (n + 1)² ≥ 4·4ⁿ/(n + 2)
(2·n)!/n!² * 2·(2·n + 1)·(n + 1) / (n + 1)² ≥ 4·4ⁿ/(n + 2)
(2·n)!/(n!)² * 2·(2·n + 1) / (n + 1) ≥ 4·4ⁿ/(n + 2)
4ⁿ/(n + 1) * 2·(2·n + 1) / (n + 1) ≥ 4·4ⁿ/(n + 2)
(2·n + 1)·(n + 2) ≥ 2·(n + 1)²
2·n² + 5·n + 2 ≥ 2·n² + 4·n + 2
5·n ≥ 4·n
stimmt

Comments

Hallo

Ich hab nicht verstanden wie haben sie (2·n)!/(n!)²= 4ⁿ/(n+1) gefunden

 

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gibt es nicht bei der zweiten Antwort schon eine Diskussion dieser Nachfrage?

Answer 2

Zu zeigen
(2·n über n) ≥ 4ⁿ/(n + 1)
(2·n)!/(n!)² ≥ 4ⁿ/(n + 1)

Induktionsanfang n = 1
(2·1 über 1) ≥ 4¹/(1 + 1)
2 ≥ 2
stimmt

Induktionsschritt n --> n + 1
(2·(n + 1) über n + 1) ≥ 4^{n + 1}/((n + 1) + 1)
(2·n + 2 über n + 1) ≥ 4·4ⁿ/(n + 2)
(2·n + 2)!/(n + 1)!² ≥ 4·4ⁿ/(n + 2)
(2·n)!/(n!)² * 2·(2·n + 1)/(n + 1) ≥ 4·4ⁿ/(n + 2)
4ⁿ/(n + 1) * 2·(2·n + 1)/(n + 1) ≥ 4·4ⁿ/(n + 2)
(2·n + 1)·(n + 2) ≥ 2·(n + 1)²
2·n² + 5·n + 2 ≥ 2·n² + 4·n + 2
5·n ≥ 4·n
stimmt

Comments

(2·n + 2)!/(n + 1)!2 ≥ 4·4n/(n + 2)
(2·n)!/(n!)2 * 2·(2·n + 1)/(n + 1) ≥ 4·4n/(n + 2)

kannst du diesen Schritt erklären?

Das obere hatte ich in einem meiner Versuche, bin aber nicht auf das untere gekommen (Was das fehlende Bindeglied war).

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(2·n + 2)! / ((n + 1)!)²
(2·n)!·(2·n + 1)·(2·n + 2) / (n!·(n + 1))²
(2·n)!·(2·n + 1)·(2·n + 2) / (n!²·(n + 1)²)
(2·n)!/n!² * (2·n + 1)·(2·n + 2) / (n + 1)²
(2·n)!/n!² * 2·(2·n + 1)·(n + 1) / (n + 1)²
(2·n)!/n!² * 2·(2·n + 1) / (n + 1)

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Hatte es schon selbst gefunden.

Aber danke.jetzt habe ich die bestätigung, dass ich keinen quatsch geschrieben hab :)

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(2·n über n) ≥ 4n/(n + 1)
(2·n)!/(n!)2 ≥ 4n/(n + 1)

Ich rechne diese Aufgabe selber gerade, und mir fehlte der Ansatz hier. Gibt es dafür eine Begleitung? Oder ist das ein festgelegtes Gesetz?

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Benutze die Definition des Binomialkoeffizienten

(n über k) = n! / (k! * (n - k)!)

Das ist so festgelegt.